Satz von Bayes- Bedingte Wahrscheinlichkeit

Question

Aufgabe:

Hallo,

hätte folgende Aufgabe

Eine Urne U1 enthält vier weiße und fünf schwarze Kugeln. Eine Urne U2 enthält sechs weise und sieben schwarze Kugeln. Es wird zufällig aus einer der beiden Urnen gleichzeitig drei Kugeln gezogen. Alle drei Kugeln sind Schwarz. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammen sie aus U1

Problem/Ansatz:

Ich habe auch die Lösung gegeben, aber kann sie nicht nachvollziehen.

A= U1

B= Alle drei Kugeln Schwarz

P(A|B)= Für (A und B)  steht bei der Lösung 0,5*10/84. Meine Frage ist,wie komme ich auf diese 10/84?

Answer 1

Aloha :)

\(\frac{10}{84}\) ist die Wahrscheinlichkeit, dass aus Urne 1 genau 3 schwarze Kugeln gezogen werden. Der Faktor \(0,5\) davor ist die Wahrscheinlichkeit, Urne 1 für die Ziehung auszuwählen.

$$P(U_1\,\big|\,sss)=\frac{P(U_1\,\cap\,sss)}{P(sss)}=\frac{P(U_1\,\cap\,sss)}{P(U_1\,\cap\,sss)+P(U_2\,\cap\,sss)}$$$$\phantom{P(U_1\,\big|\,sss)}=\frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{9}\cdot\frac{4}{8}\cdot\frac{3}{7}}{\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{9}\cdot\frac{4}{8}\cdot\frac{3}{7}+\frac{1}{2}\cdot\frac{7}{13}\cdot\frac{6}{12}\cdot\frac{5}{11}}=\frac{\frac{5}{84}}{\frac{5}{84}+\frac{35}{572}}=\frac{143}{290}\approx49,3103\%$$

Answer 2

P1(3 weiße) = (5/9*4/8*3/7 + 7/13*6/12*5/11)*0,5

P2(3 weiße aus U1) = 5/9*4/8*3/7*0,5

P2/P1= 49,31%

Das wäre mein Ansatz.

Die Lösung kommt mir viel zu klein vor. Es wären nur 6%.