Aloha :)
Bei solchen Fallunterscheidungen kann man sich sehr leicht verfummeln oder einfach Fälle übersehen. Das siehst du an der sehr grausamen Musterlösung, bei der man sich anstrengen muss, sie zu verstehen.
Einfacher ist es, einen Ausdruck mit \(0\) zu vergleichen. Daher schlage ich vor, den Ausdruck vor der Fallunterscheidung etwas umzuformen:
$$\frac{1}{1-x}\le1-\frac{x}{2}\;\Longleftrightarrow\;\frac{1}{1-x}-1+\frac{x}{2}\le0\;\Longleftrightarrow\;\frac{2}{2(1-x)}-\frac{2(1-x)}{2(1-x)}+\frac{x(1-x)}{2(1-x)}\le0$$$$\Longleftrightarrow\;\frac{2}{2(1-x)}-\frac{2-2x}{2(1-x)}+\frac{x-x^2}{2(1-x)}\le0\;\Longleftrightarrow\;\frac{3x-x^2}{2(1-x)}\le0\;\Longleftrightarrow\;\frac{x(3-x)}{2(1-x)}\le0$$$$\Longleftrightarrow\;\frac{x(3-x)}{1-x}\le0\;\Longleftrightarrow\;\underline{\underline{\frac{x(x-3)}{x-1}\le0}}$$
Die Ungleichung ist genau dann erfüllt, wenn Zähler und Nenner unterschiedliche Vorzeichen haben. Das ergibt folgende Falltunterscheidungen:
1. Fall: Zähler positiv und Nenner negativ:$$\underbrace{x\ge0\;\land\;(x-3)\ge0}_{\text{Zähler \(\ge0\)}}\;\land\;\underbrace{(x-1)<0}_{\text{Nenner \(<0\)}}\;\implies\;x\ge0\;\land\;x\ge3\;\land\;x<1\;\implies\;x\in\{\}$$$$\underbrace{x\le0\;\land\;(x-3)\le0}_{\text{Zähler \(\ge0\)}}\;\land\;\underbrace{(x-1)<0}_{\text{Nenner \(<0\)}}\;\implies\;x\le0\;\land\;x\le3\;\land\;x<1\;\implies\;x\le0$$
2. Fall: Zähler negativ und Nenner positiv:$$\underbrace{x\ge0\;\land\;(x-3)\le0}_{\text{Zähler \(\le0\)}}\;\land\;\underbrace{(x-1)>0}_{\text{Nenner \(>0\)}}\;\implies\;x\ge0\;\land\;x\le3\;\land\;x>1\;\implies1<x\le3$$$$\underbrace{x\le0\;\land\;(x-3)\ge0}_{\text{Zähler \(\le0\)}}\;\land\;\underbrace{(x-1)>0}_{\text{Nenner \(>0\)}}\;\implies\;x\le0\;\land\;x\ge3\;\land\;x>1\;\implies\;x\in\{\}$$
Zusammengefasst haben wir also als Lösung:$$x\in(-\infty;0]\cup(1;3]$$
