Ungleichung zweite Lösung ausrechnen

Question

folgende Ungleichung:

(I X-50 I ≤ 10)

Ich habe eine Lösung: wenn ich -50 auf die andere Seite bringe, komme ich auf x ≤ 60.

In den Lösungen steht aber, dass es eine zweite Lösung gibt: und zwar x ≤ 40.

Wie kommt man auf die zweite Lösung?

Vielen Dank im Voraus.

Answer 1

Aloha :)

Die zweite Lösung passt nicht, denn \(x=30\) erfüllt die Bedingung \(x\le40\), aber \(|30-50|=20>10\). Richtig ist:

$$|x-50|\le10$$$$-10\le x-50\le 10$$$$-10+50\le x\le 10+50$$$$40\le x\le 60$$

Comments

aber woher kommt das -10 plötzlich her?

und die 50 ganz am Ende?

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Wenn du irgendeine Zahl \(z\) hast, deren Betrag kleiner gleich einer Konstanten \(c\) sein soll, also:$$|z|\le c$$kannst du zwei Fälle unterscheiden:

1. Fall: \(z\ge0\)

Dann ist \(|z|=z\) und die Gleichung lautet: \(z\le c\)

2. Fall \(z<0\)

Dann ist \(|z|=-z\) und die Gleichung lautet: \(-z\le c\) bzw. \(z\ge -c\)

Daher kannst du eine solche Gleichung immer in 2 Bedingungen aufteilen:$$|z|\le c\quad\Leftrightarrow\quad -c\le z\le c$$Das habe ich für deine Gleichung gemacht:$$|x-50|\le10\quad\Leftrightarrow\quad -10\le x-50\le 10$$Das sind, wie gesagt, eigentlich 2 Gleichungen:$$-10\le x-50\quad;\quad x-50\le10$$Wenn ich bei beiden Gleichungen nun \(50\) auf beiden Seiten addiere, bekomme ich:$$40\le x\quad;\quad x\le60$$Das kann man wieder zu einer Ungleichungskette zusammenziehen:$$40\le x\le60$$

~plot~ abs(x-50) ; 10 ; {40|10} ; {60|10} ; [[35|65|0|12]] ~plot~

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Vielen, vielen Dank!

Wir haben diese zwei Möglichkeiten eine Ungleichung zu berechnen nie im Unterricht besprochen, weshalb ich ein wenig verwirrt war.

Werde ich mir auf jeden Fall aufschreiben, Dankeschön!!