Question

Gibt es ein z ∈ ℤ mit der Eigenschaft, dass 3z - 5 durch 8 teilbar ist?

Answer 1

z muss ja definitiv ungerade sein, damit, wenn du sie mal 3 multiplizierst, sie ungerade bleibt, damit wenn du dann eine ungerade Zahl abziehst, eine gerade Zahl rauskommt.

Schauen wir uns doch mal die ersten ungeraden Zahlen an:

1: 3-5=-2; 3: 9-5=4; 5: 15-5= 10 -> d.h. wir bewegen uns in 6er-Schritten.

Lass uns die nächsten Schritte im Schnelldurchlauf gehen: 16 (Treffer), 22, 28, 34, 40 (Treffer), usw.

D.h. die ersten Zahlen, für die das Zutrifft, sind 7 und 15. Hier ist der Unterschied witzigerweise 8.

Eine Formel wäre (ungefähr): z= 7+8n, wobei n= 0,1, ..., n ist

Comments

Wie steht's mit z=-1?

---

stimmt, wir suchen ja alle ganzen Zahlen. Na dann ist n element der natürlichen Zahlen, sry

---

Du meinst, dann ist n element der ganzen Zahlen?

---

Hallo KingO||of, vielen lieben Dank für deine Antwort.

Mir ist allerdings aufgefallen das ich mich im Bereich der Zahlentheorie befinde und nicht genau wusste, wie man den Text oben umschreibt. (Nach langer Recherche weiss ich es jetzt :P )

Ich möchte gerne noch meinen Lösungsweg präsentieren, der eigentlich das selbe aussagt wie deiner.^^

3z - 5 durch 8 teilbar ⇔ 8|(3z-5) ⇔ 3z ≡ 5 mod 8

1 Schritt:

Def: Sei n eine nat. Zahl und seien a,b ∈ ℤ. DIe Kongruenz a * x ≡ b mod n ist genau dann in ℤ lösbar, falls jeder ggT von a und n auch b teilt.

ALso: ggT(3,8) = 1, 1 teilt 5, das heißt es gibt eine Lösung. Eigentlich könnte ich hier schon Aufhören, denn es wäre damit bewiesen, das es ein z mit der Eigenschaft geben muss. Ich mache aber mal weiter...

2 Schritt:

Jetzt müssen wir ggT(3,8) mit dem Euklidischen Algorithmus anders darstellen um an das Inverse c zu gelangen:

8 = 2*3+2

3 = 1*2+1

2 = 2*1

Das heißt wir können jetzt den ggT(3,8) darstellen durch:

1 = 3-2*1 = 3-(8-2*3)*1 = 3*3-8

Das Inverse c ergibt sich also als 3 mod 8, also können wir alle Zahlen nehmen, die kongruent 2 modulo 8 sind. Wir setzen c=3.

3 Schritt:

Wir Multiplizieren die Gleichung mit c = 3. Daraus ergibt sich:

z ≡ 3 *5 mod 8

z ≡ 15 mod 8

z ≡ 7 mod 8

Das heißt die Lösung ist 7 + k*8, k ∈ ℤ.

Ich würde mich freuen, wenn du kurz drüberschaust und evtl korrigieren kannst.^^

---

denke das passt ^^

Answer 2

Aloha :)

Es gibt unendlich viele ganze Zahlen, nämlich$$z=8n+7\quad;\quad n\in\mathbb Z$$

Wir prüfen das durch Einsetzen nach:$$3z-5=3(8n+7)-5=24n+16=8\cdot(3n+2)\quad\checkmark$$

Das ist natürlich durch \(8\) teilbar.

Answer 3

Gibt es ein z ∈ ℤ mit der Eigenschaft, dass

 3z - 5 durch 8 teilbar ist?

Mir fällt auf, dass der Term für z=-1 den Wert -8 annimmt.

3*(-1)-5=-8

Damit der Term durch 8 teilbar ist, muss ei Vielfaches von 8 addiert werden.

3z-5+8i

Allerdings soll er ja die Form 3z-5 haben. Daher muss 8i durch 3 teilbar sein.

3z-5+3*8*k=3*(z+8k)-5

z=-1 erfüllt die Bedingung.

3*(-1+8k)-5

k=0 → 3*(-1)-5=-8

k=1 → 3*7-5=16=2*8

k=2 → 3*15-5=40=5*8

Also z=8k-1.

:-)