Für die Orthonormalbasen gilt:
\(||b_{i}||=1\) und \(\left<b_{1}, b_{2}\right>=1\)
Jetzt prüfen wir die Abbildung \(Q\) auf Orthogonalität, d.h. wir nehmen uns beliebige Vektoren \(x,y\in \mathbb{R}^{2}\)
und stellen sie intern von \(\mathcal{B}\) dar:
\(x=\alpha_{1}b_{1}+\alpha_{2}b_{2}\quad y=\beta_{1}b_{1}+\beta_{2}b_{2}\) mit geeigneten \(\alpha_{i}, \beta_{i}\in \mathbb{R}\)
und schauen uns das Skalarprodukt \(\left<Q(x), Q(y)\right>\) an:
\(\left<Q(x), Q(y)\right>=\left<Q(\alpha_{1}b_{1}+\alpha_{2}b_{2}), Q(\beta_{1}b_{1}+\beta_{2}b_{2})\right>\)
\(Q\) ist lineare Abbildung, also trennen wir die Summe auf und ziehen die Skalare raus, ebenso ist das Skalarprodukt bilinear und wir können die Skalare weiter rausziehn:
\(=\alpha_{1}\beta_{1}\left<Q(b_{1}), Q(b_{1})\right>+\alpha_{1}\beta_{2}\left<Q(b_{1}), Q(b_{2})\right>+\alpha_{2}\beta_{1}\left<Q(b_{2}), Q(b_{1})\right>+\alpha_{2}\beta_{2}\left<Q(b_{2}), Q(b_{2})\right>\)
jetzt nutzen wir den Zusammenhang zwischen Skalarprodukt und Norm und die Eigenschaft von \(Q\) \(\mathcal{B}\) wieder in eine Orthonormalbasis zu überführen
\(=\alpha_{1}\beta_{1}\cdot||Q(b_{1})||^{2}+\alpha_{1}\beta_{2}+\alpha_{2}\beta_{1}+\alpha_{2}\beta_{2}||Q(b_{2})||^{2}=\alpha_{1}\beta_{1}+\alpha_{1}\beta_{2}+\alpha_{2}\beta_{1}+\alpha_{2}\beta_{2} \)
Da jetzt \(\left<b_{1}, b_{2}\right>=1=||b_{i}||^{2}\) nach Voraussetzung können wir überall "komplizierte" Einsen dazu multiplizieren
\(=\alpha_{1}\beta_{1}\left<b_{1}, b_{1}\right>+\alpha_{1}\beta_{2}\left<b_{1}, b_{2}\right>+\alpha_{2}\beta_{1}\left<b_{2}, b_{1}\right>+\alpha_{2}\beta_{2}\left<b_{2}, b_{2}\right>\)
und mit der Bilinearität des Skalarprodukts zu guter letzt
\(=\left<\alpha_{1}b_{1}+\alpha_{2}b_{2}, \beta_{1}b_{1}+\beta_{2}b_{2}\right>=\left<x,y\right>\)
und damit ist die Orthogonalität von \(Q\) gezeigt
