Lineare Abbildung durch eine Matrix vermittelt

Question

Aufgabe:

Die lineare Abbildung l werde bezüglich der Basis {(1,2) (2,3)} durch die Matrix

A= \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)

vermittelt. Wie lautet jeweils die Matrix, die dieselbe Abbildung bezüglich der Standardbasis vermittelt?

Bitte um Hilfe

Answer 1

Aloha :)

Wir kennen die Abbildungsmatrix \({_B}\mathbf A_B\) zur Basis \(B=\left(\binom{1}{2}\,,\,\binom{2}{3}\right)\):$${_B}\mathbf A_B=\left(\begin{array}{rr}0 & 1\\1 & 0\end{array}\right)$$Gesucht ist die Abbildungsmatrix \({_S}\mathbf A_S\) zur Standardbasis \(S=\left(\binom{1}{0}\,,\,\binom{0}{1}\right)\). Da die Basisvektoren von \(B\) bezüglich der Standardbasis \(S\) angegeben sind, kennen wir die Transformationsmatrix von \(B\to S\):$${_S}\mathbf{id}_B=\left(\begin{array}{rr}1 & 2\\2 & 3\end{array}\right)$$

Die gesuchte Matrix ist daher:$${_S}\mathbf A_S={_S}\mathbf{id}_B\cdot{_B}\mathbf A_B\cdot{_B}\mathbf{id}_S={_S}\mathbf{id}_B\cdot{_B}\mathbf A_B\cdot\left({_S}\mathbf{id}_B\right)^{-1}$$$$\phantom{{_S}\mathbf A_S}=\left(\begin{array}{rr}1 & 2\\2 & 3\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rr}0 & 1\\1 & 0\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rr}1 & 2\\2 & 3\end{array}\right)^{-1}$$$$\phantom{{_S}\mathbf A_S}=\left(\begin{array}{rr}1 & 2\\2 & 3\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rr}0 & 1\\1 & 0\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rr}-3 & 2\\2 & -1\end{array}\right)$$$$\phantom{{_S}\mathbf A_S}=\left(\begin{array}{rr}-4 & 3\\-5 & 4\end{array}\right)$$