DGL und Taylor Reihenentwicklung

Question

Aufgabe:

Hallo Freunde des Wissens,

komme bei folgender Aufgabe nicht weiter.
Bestimmen sie die Funktion y(t), die für y >=0 die DGL

sinh(y)*dy/dt-2t*cosh(y)+t=0

erfüllt.
Die Anfangsbedingungen sei y(0)=0
a) Klassifizieren Sie die Differenzialgleichung
b) die Anfangsbedingungen sichert das für kleine Zeiten t auch y(t) klein ist weswegen man für t《0 eine Approximative Lösung durch Reihenentwicklung finden kann. entwickeln Sie dazu die hyperbolischen Funktion bis zur 2. Ordnung in y und lösen sie die entstehende DGL
c) berechnen Sie die exakte Lösung der Differenzialgleichung mitgegeben anfangsbedingungen
Hinweis: es reicht aus wenn Sie die Lösung für cosh(y(t)) angeben

Wie fängt man den bei der an?

Meine Ansätze waren

1.
dy/dt=y'=(2t*cosh(y)-t)/sinh(y)

Doch dann weiß ich schon nicht weiter da ja y von t abhängig ist.
Oder ist es egal wegen der anfangsbedingung?
Also Taylor schaffe ich aber dann die exakte Lösung der dgl schaffe ich nicht

2. Trennung der Variablen

Sinh(y)/(2*cosh(y)-1)*dy=t*dt

Dann integrieren beide seiten

ln(2*cosh(y)-1)/2 = 1/2t^2+c

Doch dann komm ich auch nicht viel weiter, da ich ja garkein y frei bekomme also wird es das auch nicht sein

3. Ich denke das ist eher falsch aber nahja mal sehen

y runterschubsen und den diffentialoperator auf sinh(y) anwenden
Und da es ja eigentlich sinh(y(t)) ist kettenregel

Komm ich nach dem umstellen auf

y'= 2t-t/cosh(y)

Comments

Dann kam ich natürlich noch bis

Cosh(y)=(exp(t^2+2C))/2+1/2

Für c hab ich übrigens 0 raus (ln(1)/2)


Und durch den Hinweis ist das schon die Lösung?

Answer 1

Hallo,

zu a) Es ist eine nichtlineare gewöhnliche DGL 1. Ordnung

zu c) siehe Blatt

Comments

Danke für die super Antwort:)

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Answer 2

Hallo

deine Lösung ist richtig, und du bist wie Ahnungslos schon schreib fast fertig, da deine Aufgabe ja sagt :"es reicht aus wenn Sie die Lösung für cosh(y(t)) angeben"

notfalls dann noch die Umkehrfunktion von cosh hinschreiben, aber das ist ja nicht verlangt.

Gruß lul