Berechnen Sie den Radius und die Länge des Bogens bei minimalem Umfang.

Question

Aufgabe:

Ein Kreisausschnitt PQM hat einen Flächeninhalt von 100 m². Berechnen Sie den Radius und die Länge des Bogens bei minimalem Umfang.

Problem/Ansatz

Bei der Aufgabe finde ich einfach keinen Ansatz. Da ich auch nicht so richtig verstehe, was mit einem Kreisausschnitt gemeint ist.
Kann mir jemand vielleicht einen Denkanstoß geben?

Comments

Der Kreisausschnitt sieht so aus:

Berechnungen s. Antwort vom Mathecoach

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"Kreisausschnitt" ist synonym zum vermutlich häufiger verwendeten Begriff "Kreissektor".

https://de.wikipedia.org/wiki/Kreissektor

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Mich würde interessieren, wie kommt man genau auf diesen Kreisausschnitt bzw. Kreissektor? Sind das ausgedachte Winkel wie 114,59° oder geht das aus der Aufgabenstellung hinaus?

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Den Ausschnitt habe ich nach den Berechnungen vom Mathecoach gezeichnet.

Answer 1

a = pi·r^2·α/360° = 100 --> α = 36000°/(pi·r^2)

U = 2·r + 2·pi·r·α/360° = 2·r + 200/r

U' = 2 - 200/r^2 = 0 --> r = 10

α = 36000°/(pi·10^2) = 114.59°

Comments

Vielen Dank für die Antwort! Woher nimmst du das a? Also von welcher Formel/Gleichung hast du das umgestellt?

Das zeichen hier: α ist ein Alpha, richtig?

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a sollte eigentlich A lauten und für die Kreis bzw. Kreissektorfläche stehen.

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Ich habe das jetzt so gemacht:

$$ A = \pi r^2 \frac{α}{360°} $$
$$ 100 = \pi r^2 \frac{α}{360°} | * 360° $$
$$ 36000° = \pi r^2 α | / (\pi r^2) $$
$$ α = \frac{36000°}{\pi r^2} $$


u = 2r + b
u = 2r + α

Hier verstehe ich jetzt nicht richtig, wie man auf das + 2 * kommt. Weil in meinem Tafelwerk lautet die Formel für den Umfang u = 2r + b:

$$ u = 2r + 2 \pi r^2 * \frac{α}{360°} $$
$$ u = 2r + \frac{200}{r} $$
$$ u' = 2 - \frac{200}{r^2} $$
$$ u'' = \frac{400}{r^3} $$

$$ u' = 0 $$
$$ 0 = 2 - \frac{200}{r^2} $$
$$ \frac{200}{r^2} = 2 | * r^2 $$
$$ 200 = 2r^2 | / 2 $$
$$ 100 = r^2 | \sqrt{} $$
$$ 10 = r $$
- 10 = r2 -> entfällt r > 0


$$ α = \frac{36000}{\pi * 10^2} $$
$$ α = 114,59° $$
$$ u''(10) = \frac{400}{10^3} $$
$$ u''(10) = \frac{2}{5} $$ > 0 -> TP -> Minimum

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Hier verstehe ich jetzt nicht richtig, wie man auf das + 2 * kommt. Weil in meinem Tafelwerk lautet die Formel für den Umfang u = 2r + b:

Das b ist dann vermutlich die Bogenlänge. Aber da solltest du auch eine Formel kennen um die zu berechnen.

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Okay. Von welcher Ausgangsformel bist du denn bei dieser Formel ausgegangen? U = 2·r + 2·pi·r·α/360°

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Also von welcher Formel kamst du auf diese hier?: U = 2·r + 2·pi·r·α/360