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Hallo,

ich habe diese Frage schon mal derart gestellt, jedoch bin ich auf ein weiteres "Problem" gestoßen, welches ich selbst nicht lösen kann.

y'= -\( \frac{y}{x} \) +3x mit y(1)=2

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Naja also Typ der DGL sollte eigentlich klar sein: inhomogene lineare DGL 1. Ordnung. Für diesen Typ kennst du möglicherweise mehrere Lösungsmöglichkeiten, dazu schaust du am besten mal in deinem Skript nach. Dort müsstest du dann relativ schnell auf den Begriff "Variation der Konstanten" (oder so ungefähr stoßen), welche dir genau den Lösungsweg beschreibt.

Was hat Dir denn an meiner Lösung nicht gefallen , ist es NUR die Schrift , die aber lesbar ist.

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Aloha :)

Wir betrachten die Differentialgleichung$$y'(x)=-\frac{y}{x}+3x\quad;\quad y(1)=2$$und lösen zunächst die homogene Variante:

$$\left.y'_0(x)=-\frac{y_0(x)}{x}\quad\right|:\,y_0(x)$$$$\left.\frac{y'_0(x)}{y(x)}=-\frac{1}{x}\quad\right|\text{beide Seiten integrieren}$$$$\left.\ln|y_0(x)|+c_1=-\ln|x|+c_2\quad\right|-c_1$$$$\left.\ln|y_0(x)|=-\ln|x|+(c_2-c_1)\quad\right|e^{\cdots}$$$$\left.|y_0(x)|=e^{-\ln|x|}\cdot e^{(c_2-c_1)}\quad\right|e^{-\ln|x|}=\frac{1}{|x|}\;;\;c\coloneqq e^{c_2-c_1}=\text{const}$$$$y_0(x)=\frac{c}{x}$$Da wir die Betragsstriche weggelassen haben, prüfen wir, ob die homogene Diffrentialgleichung auch ohne Betragsstriche erfüllt wird:$$y'_0(x)=\left(\frac{c}{x}\right)'=-\frac{c}{x^2}=-\frac{c/x}{x}=-\frac{y_0(x)}{x}\quad\checkmark$$

Zur Lösung der gegebenen inhomogenen Differentialgleichung, variieren wir die Konstante \(c\) aus der homogenen Lösung. Wir wählen also als Ansatz für die inhomogene Lösung \(y(x)=\frac{c(x)}{x}\). Wir setzen ein:

$$\left.y'(x)=-\frac{y}{x}+3x\quad\right|y(x)=\frac{c(x)}{x}$$$$\left.\left(\frac{c(x)}{x}\right)'=-\frac{\frac{c(x)}{x}}{x}+3x\quad\right|\text{links ableiten, rechts vereinfachen}$$$$\left.\frac{c'(x)\cdot x-c(x)\cdot1}{x^2}=-\frac{c(x)}{x^2}+3x\quad\right|+\frac{c(x)}{c^2}$$$$\left.\frac{c'(x)\cdot x}{x^2}=3x\quad\right|\cdot x$$$$\left.c'(x)=3x^2\quad\right|\text{integrieren}$$$$\left.c(x)=x^3+C\quad\right|C=\text{const}$$

Damit lautet also die inhomogene Lösung:$$y(x)=\frac{c(x)}{x}=\frac{x^3+C}{x}=x^2+\frac{C}{x}$$Die Konstante \(C\) finden wir mit der Anfangsbedingung \(y(1)=2\):$$2=y(1)=1+\frac{C}{1}=1+C\quad\implies\quad C=1$$

Die Lösung der inhomogenen Differentialgleichung under der gegebenen Anfangsbedingung lauet also:$$y(x)=x^2+\frac{1}{x}$$

Avatar von 152 k 🚀
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Hallo,

Typ: Lineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung

siehe hier:

https://www.mathelounge.de/827595/differentialgleichung-typ-3-y-a-x-y-b-x

Die Lösung lautet:

y=c1/x +x^2

jetzt setzte Du die AWB in die Lösung ein:

y(1)=2

-> 2= c1 +1

c1= 1

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y=1/x +x^2


jedoch bin ich auf ein weiteres "Problem" gestoßen, welches ich selbst nicht lösen kann.


Welches ?

Avatar von 121 k 🚀

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