Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen sind das System
\(\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x}\left(x,y\right) & =\frac{\partial v}{\partial y}\left(x,y\right)\\ \frac{\partial u}{\partial y}\left(x,y\right) & =-\frac{\partial v}{\partial x}\left(x,y\right) \end{aligned} \)
von partiellen Differentialgleichungen.
Sie gelten nicht, sondern sie sind ein notwendiges und hinreichendes Kriterium wann mit
\(\begin{aligned} u:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}, & \left(x,y\right)\mapsto\Re\left(f\left(x+\mathrm{i}y\right)\right)\\ v:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}, & \left(x,y\right)\mapsto\Im\left(f\left(x+\mathrm{i}y\right)\right)\text{.} \end{aligned}\)
die Funktion \(f:D\to\mathbb{C}\) auf dem Gebiet \(D\) holomorph ist.
Einen Beweis findest du auf YouTube in der Vorlesung Funktionentheorie I von Matthias Schulte.
