Eigenvektoren mit Eigenwerten berechnen

Question

Hallo, ich soll bei der folgenden Matrix die Eigenvektoren berechnen:

\( \begin{pmatrix} -2 & -5 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \)

Ich bekomme leider nur ein falsches Ergebnis raus.

Also ich habe mit den Eigenwerten 3 und -1 gerechnet und als Eigenvektoren t*(1,-1) und t*(-5, -0.2) herausbekommen, obwohl der zweite Eigenvektor t*(-5,1) sein sollte.

Kann mir jemand den Teil mit den Eigenvektoren vorrechnen?

Danke

Answer 1

Solltest du bloss Resultate brauchen, https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28-2+%2C+-5%29%2C+%281+%2C+4%29%29+ Hier werden Eigenwerte und Eigenvektoren automatisch ausgerechnet. Du kannst den Rechenweg, z.B. das charakteristische Polynom usw. auch gleich mitkontrollieren.

Eingabezeile im Link: ((-2 , -5), (1 , 4))

Deine Eigenwerte stimmen. Hast du eventuell " t*(1, -0.2) " herausbekommen?

Dann könntest du deinen Eigenbektor mit (-5) multiplizieren und t entsprechend durch -5 teilen, das ist irrelevant, da t alle reellen Zahlen annehmen kann.

Am besten zeigst du deine ganze Rechnung.

Answer 2

Hallo,

ich habe mit den Eigenwerten 3 und -1 gerechnet

das ist korrekt

und als Eigenvektoren t*(1,-1) und t*(-5, -0.2) herausbekommen

Der zweite Eigenvektor ist falsch. Wenn Du \(\lambda = -1\) einsetzt$$\begin{pmatrix} -2 - \lambda& -5 \\ 1 & 4 - \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -5 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix} $$ist doch offensichlich, dass der Eigenvektor $$e_{\lambda = -1} = \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \end{pmatrix} t$$sein muss. Aus der ersten Gleichung $$-x_1 - 5 x_2 = 0$$folgt $$x_1 = -5x_2 \implies e_{\lambda = -1} =  \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} -5x_2\\ x_2 \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} -5\\ 1 \end{pmatrix}x_2$$siehe auch hier.

Gruß Werner

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Danke, hab meinen Fehler gefunden :)

Answer 3

EV

\(\small \left(\begin{array}{rrrr}\lambda=&-1&\left(\begin{array}{rr}-1&-5\\1&5\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\\end{array}\right) = 0\\\lambda=&3&\left(\begin{array}{rr}-5&-5\\1&1\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\\end{array}\right) = 0\\\end{array}\right) \)

in beiden fällen bleibt eine Zeile zum Auswerten

x1 + 5 x2 =0 ===> x1=-5x2 ===> (-5,1)

x1+x2=0 ===> x1=-x2 ===> (-1,1)

siehe auch

https://www.geogebra.org/m/upUZg79r

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Danke für die Hilfe :)