Berechnen Sie den Eigenraum zum Eigenwert \lambda=3 :

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Wir betrachten eine Matrix \( A \in \mathbb{R}^{4,4} \)
Gegeben ist das charakteristische Polynom
$$ p_{A}(x)=(x-3)^{2}(x+3)^{2} $$
sowie die folgenden normalisierten Zeilenstufenformen
$$ \begin{aligned} \operatorname{NZSF}\left(A-3 I_{4}\right) &=\left[\begin{array}{llll} 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \\ \operatorname{NZSF}\left(A+3 I_{4}\right) &=\left[\begin{array}{llll} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] . \end{aligned} $$
Berechnen Sie den Eigenraum zum Eigenwert \( \lambda=3 \) :
$$ V_{\lambda=3}=\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right]\right\} $$
$$ \begin{array}{l} V_{\lambda-3}=\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right]\right\} \\ V_{\lambda-3}=\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right]\right\} \\ V_{\lambda=3}=\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right]\right\} \end{array} $$
Berechnen Sie die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes \( \lambda=-3 \) :
geomVFH \( (\lambda=-3)= \)

Problem/Ansatz: Ich komme bei dieser aufgabe überhaupt nicht weiter kann mir da einer helfen? es geht um die gemoetrische VFH

Answer 1

Die erste Angabe zu V_λ=3 ist richtig.

Also ist der Eigenraum 2-dimensional, d.h. geometrische Vielfachheit = 2.

Und für λ=-3 nimmst du die andere NZSF. Da gibt es nur eine

Nullzeile, also ist hier die geometrische Vielfachheit = 1.