Für zwei Vektoren definieren wir das folgende Skalarprodukt. Bestimmen Sie a>0.

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Für zwei Vektoren \( \vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}^{2} \) definieren wir das folgende Skalarprodukt:
$$ \langle\vec{x}, \vec{y}\rangle-\vec{x}^{T} A \vec{y} $$
wobei die Matrix \( A \in \mathbb{R}^{2,2} \) gegeben ist durch
$$ A=\left[\begin{array}{ll} a & 0 \\ 0 & 3 \end{array}\right] $$
fur einen Parameter \( a>0 \). Bestimmen Sie \( a>0 \), sodass die Vektoren \( \left[\begin{array}{c}-2 \\ -2\end{array}\right] \) und \( \left[\begin{array}{c}-1 \\ 3\end{array}\right] \) orthogonal sind bezuglich des oben definierten Skalarproduktes.
Antwort:

Wie muss a gewählt werden damit es oben Orthogonal ist? Wer kann mir auf die sprünge (am besten mit nem beispiel zum verständnis) helfen? würde mich sehr freuen

Answer 1

Damit die Vektoren orthogonal sind, muss deren Skalarprodukt 0 sein.

Also nimm den Ansatz x^T * A * y = 0 mit den gegebenen Vektoren

und der Matrix A, das gibt

$$\begin{pmatrix} -2\\-2 \end{pmatrix}^T\begin{pmatrix} a & 0\\ 0 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1\\3 \end{pmatrix}=0$$

und dann a ausrechnen, dass es stimmt.

Gibt a=9.