Zeigen Sie dass dann die Matrix S= En-2vvT (Householder-Spiegelung) folgende Eigenschaften besitzt:

Question

Aufgabe:

Sei v∈ℝ^{n ein Einheitsvektor, dh. ||v||}₂ =( \sqrt{v^T*v} \) =1 und E_n die Einheitsmatrix. Zeigen Sie dass dann die Matrix S= En-2vv^T (Householder-Spiegelung) folgende Eigenschaften besitzt:

a) S ist invertierbar und S^{-1 =S}

^{b) S ist orthogonal und es gilt Sv=-v}

Problem/Ansatz:

Muss man da nur zeigen :

b) S*S^-1

^{c) Sv=-v}

^{Oder muss man bei dieser Aufgabe etwas anderes zeigen?\}

Answer 1

$$ S \cdot S = \left( E_n - 2 v v^T \right)\left( E_n - 2 v v^T \right) = E_n - 4 v v^T +   4 v v^T v v^T = E_n $$ wegen \( v v^T = 1 \)

$$ Sv = E_n v - 2 v v^T v = v - 2v = -v  $$