welches ist hier das richtige?

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Sei \( A \in \mathbb{C}^{4,5} \) und \( L_{A} \) die zugehörige lineare Abbildung, d.h. \( L_{A}(\vec{x})=A \vec{x} . \)
Wie müssen Definitions- und Wertebereich für \( L_{A} \) gewählt werden, sodass \( L_{A} \) wohldefiniert ist
Es ist genau eine Antwort richtig.
Wählen Sie eine Antwort:
\( L_{A}: \mathbb{C}^{20} \rightarrow \mathbb{C} \)
\( L_{A}: \mathbb{C}^{5} \rightarrow \mathbb{C}^{4} \)
(o) \( L_{A}: \mathbb{C}^{4} \rightarrow \mathbb{C}^{5} \)
\( L_{A}: \mathbb{C}^{9} \rightarrow \mathbb{C}^{9} \)
Meine Auswahl widerrufen

. welches ist hier das richtige? ich hätte das dritte genommen

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Wie müssen Definitions- und Wertebereich für L_{A} gewählt werden, sodass L_{A} wohldefiniert ist?

Stichworte: funktion,definitionsbereich,wertebereich

Aufgabe:

Text erkannt:

Sei \( A \in \mathbb{C}^{4,5} \) und \( L_{A} \) die zugehörige lineare Abbildung, d.h. \( L_{A}(\vec{x})=A \vec{x} \).
Wie müssen Definitions- und Wertebereich für \( L_{A} \) gewählt werden, sodass \( L_{A} \) wohldefiniert ist?
Es ist genau eine Antwort richtig.
Wählen Sie eine Antwort:
\( L_{A}: \mathbb{C}^{20} \rightarrow \mathbb{C} \)
\( L_{A}: \mathbb{C}^{5} \rightarrow \mathbb{C}^{4} \)
\( L_{A}: \mathbb{C}^{4} \rightarrow \mathbb{C}^{5} \)
\( L_{A}: \mathbb{C}^{9} \rightarrow \mathbb{C}^{9} \)

Problem/Ansatz: Mein ansatz wäre dass ich hier die dritte möglichkeit wählen würde, da es ja 4 zeilen hat aber ich versteh es trotzdem nicht ganz, könnte mir es einer mit einem beispiel erklären? Liebe grüße

Answer 1

Sei \( A \in \mathbb{C}^{4,5} \)

Suche dir ein konkretes Beispiel für die Matrix \(A\).

\( L_{A}: \mathbb{C}^{4} \rightarrow \mathbb{C}^{5} \)

Suche dir wegen \( L_{A}(\vec{x})=A \vec{x}\) ein konkretes \(\vec{x}\in \mathbb{C}^4\) und berechne damit \(A\vec{x}\).

Falls das funktioniert hat, dann prüfe ob das Ergebnis in \(\mathbb{C}^5\) ist.

Answer 2

Aloha :)

Der erste Index ist die Anzahl der Zeilen, der zweite Index ist die Anzahl der Spalten. Die Matrix \(A\in\mathbb C^{4;5}\) hat also 4 Zeilen und 5 Spalten. Die Eingangsgröße muss also ein Vektor mit 5 Komponenten sein und die Ausgangsgröße ist ein Vektor mit 4 Komponenten. Ich habe mir damals gemerkt, die Vektoren fallen oben in die Matrix rein (5 Spalten brauchen 5 Komponenten) und die Ergebnisse fallen links aus der Matrix raus (4 Zeilen ergeben 4 Komponenten):$$L_A:\;\mathbb C^5\to\mathbb C^4$$

Antwort (b) ist richtig.