Tangente an dem Funktionsgraphen berechnen, Erklärung nötig!

Question

Wieso lautet die Gleichung der Tangente an den Funktionsgraphen im Punkt (x_a / f(x_a)):

y = f(x_a) + (x-x_a) * f´(x_a) bzw. f(x) = f(x_a) + (x-x_a) * m

Also das f´(x_a) verstehe ich noch, da die Ableitung ja die momentane Änderungsrate, sprich die Steigung der Tangente an dieser Stelle wiedergibt.

Aber ich habe ein Problem damit den Teil "f(x_a) + (x-x_a)" zu verstehen. Das f(x_a) wäre ja der Punkt y, sprich der Y-Achsenabschnitt. Aber die Tangente muss ja nicht bei x=0 liegen?

Könnte mir jemand das in nicht-mathe-Sprache erklären? Vielen Dank im Voraus!

Comments

hier:

https://matheguru.com/differentialrechnung/tangente-tangentengleichung-aufstellen.html

Answer 1

Hallo

(y-ya)/(x-xa)=f'(x)

für jede Gerade durch (xa,ya) mit der Steigung m gilt doch (y-ya)/(x-xa)=m

Gruß lul

Comments

Ich verstehe leider nicht, was genau du meinst. Also ich verstehe, dass es die Berechnung für die Steigung ist, aber ich verstehe nicht, wie ich dadurch auf die Tangentengleichung kommen soll. Trotzdem

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Hallo

wenn du verstehst, dass es die Steigung ist, und die gerade durch a geht und du dann die Steigung f'(xa) nimmst?

lul

Answer 2

\(y = f(x_a) + (x-x_a) * f´(x_a)\)

\(y_a=f(x_a)\)

\(m=f'(x_a)\)

\(m = \dfrac{y-y_a}{x-x_a}\\ m\cdot (x-x_a)=y-y_a\\f'(x_a)\cdot (x-x_a)=y-f(x_a)\\ f(x_a)+f'(x_a)\cdot (x-x_a)=y\)

\(y = f(x_a) + (x-x_a) * f´(x_a)\)

:-)

Answer 3

Aloha :)

Wenn du zwei verschiedene Punkte einer Geraden hast, etwa \((x|y)\) und \((x_0|y_0)\), so ist die Steigung \(m\) der Geraden der Quotient$$m=\frac{y-y_0}{x-x_0}$$

Nun betrachten wir eine Funktion \(f(x)\) und wollen im Punkt \((x_0|y_0)=(x_0|f(x_0))\) eine Tangente an die Funktion anlegen. Die Steigung der Funktion und damit der Tangente in diesem Punkt ist \(m=f'(x_0)\). Daher ist:

$$f'(x_0)=m=\frac{y-y_0}{x-x_0}=\frac{y-f(x_0)}{x-x_0}$$$$\implies\quad f'(x_0)\cdot(x-x_0)=y-f(x_0)$$$$\implies\quad y=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$$