Standardvektorraum V=K^n (Definition)

Question

Ich bin in meinem Skript auf eine Stelle gestoßen, die ich nicht verstehe. Es geht um den Standardvektorraum.

 

Folgendes Beispiel wird erläutert : 

 

K bel Körper , n∈ℕ

V=Kⁿ = { ( x₁ , ... , x_n) | x₁ , ... , x_n ∈ K }

mit ( x1 , ... , xn) + ( y1 , ... , yn) = ( x1+y1, ... , xn+yn)

a ( x1,...,xn ) = ( ax1, ... , axn)

für x = (x1, ..., xn) , y = ( y1 , ... , yn) ∈ V , a ∈ K.

 

kann mir dies jemand bitte ausführlich erläutern was hier gemeint ist. Am liebsten hätte ich es, wenn man zahlen einsetzen würde für die jeweiligen Buchstaben, damit das verständlicher ist ( falls möglich natürlich).

 

!

Answer 1

K bel Körper , n∈ℕ

Das solltest du noch verstehen ...

V=Kⁿ = { ( x₁ , ... , x_n) | x₁ , ... , x_n ∈ K }

Hier wird ein n-dimensionaler Vektorraum V definiert, der aus Vektoren ( x₁ , ... , x_n) besteht,
deren Komponenten  x₁ , ... , x_n Elemente des Körpers K sind_.

 

mit ( x1 , ... , xn) + ( y1 , ... , yn) = ( x1+y1, ... , xn+yn)

Hier wird eine Vektoraddition definiert: Zwei Vektoren x und y aus V werden komponentenweise addiert.

 

a ( x1,...,xn ) = ( ax1, ... , axn)

Hier wird die Multiplikation eines Elementes a des zugrundeliegenden Körpers mit einem Vektor aus V definiert: die Multiplikation erfolgt ebenfalls komponentenweise.

 

für x = (x1, ..., xn) , y = ( y1 , ... , yn) ∈ V , a ∈ K.

Hier wird noch einmal klargestellt, dass sich obige Definitionen auf Vektoren x und y aus V und Elemente a aus K beziehen.