Welche (reellen und) komplexen Zahlen kommen als Eigenwerte von A in Frage?

Question

Aufgabe:

Es gelte A^4 = E . (E = Einheitsmatrix)
Welche (reellen und) komplexen Zahlen kommen als Eigenwerte von A in Frage?

Comments

Ausrechnen tut man die Eigenwerte indem man das charakteristische Polynom auf seine Nullstellen untersucht.

Wenn das hier deine Matrix A ist\( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \)

Dann sind die Eigenwerte davon

λ_1=-1
λ_2=3

---

ich verstehe die fragestellung nicht? ich glaube die matrix A gehört nicht daz?

Answer 1

Hallo,

Welche (reellen und) komplexen Zahlen kommen als Eigenwerte von A in Frage?

Wenn $$A^4 = E$$ist, dann kommen als Eigenwerte \(\lambda\) von \(A\) alle 4.Wurzeln von \(1\) in Frage. Also$$\lambda \in \{1,\, -1,\, i,\, -i\}$$Beispiel:$$A = \begin{pmatrix}2& 5\\ -1& -2\end{pmatrix}, \quad A^4 = \begin{pmatrix}1& 0\\ 0& 1\end{pmatrix}$$Das charakteristische Polynom ist$$(2-\lambda)(-2-\lambda) - (-1)\cdot 5 = \lambda^2 + 1 \\ \implies \lambda_{1,2} = \pm i$$

Comments

ich versteh nicht gant wie du oben auf 1; -1 kommst

---

ich versteh nicht ganz wie du oben auf 1; -1 kommst

das sind zwei Lösungen der Gleichung$$\lambda^4 = 1$$Dass die Zahl \(1\) eine Lösung ist, sollte klar sein. Und da der Exponent (die 4) gerade ist, ist auch \(-1\) eine Lösung.