Aloha :)
Mir fallen spontan 3 andere Wege als die pq-Formel zum Lösen der Gleichung ein.$$x^2+2x-8=0$$
1) Der Satz von Vieta
Finde zwei Zahlen, deren Summe gleich \(2\) ist [die Zahl vor dem \(x\)] und deren Produkt gleich \((-8)\) ist [die Zahl ohne \(x\)]. Das leisten die beiden Zahlen \(4\) und \((-2)\). Daher gilt:$$0\stackrel!=x^2+2x-8=(x+4)(x-2)\quad\implies\quad x_1=-4\;;\;x_2=2$$
2) Die quadratische Ergänzung
Halbiere die Zahl vor dem \(x\) und quadriere sie danach: \(\left(\frac{2}{2}\right)^2=1\). Diese Zahl ist die sogenannte "quadratische Ergänzung". Damit schreibst du die Gleichung um:$$0\stackrel!=x^2+2x-8=x^2+2x\,\underbrace{+1-9}_{=-8}=(x^2+2x+1)-9=(x+1)^2-9$$Jetzt bringst du die \((-9)\) auf die andere Seite der Gleichung:$$(x+1)^2=9\quad\implies\quad(x+1)=\pm\sqrt9=\pm3\quad\implies\quad x_1=-4\;;\;x_2=2$$
3) Faktorisierung
Alle ganzzahligen Nullstellen müssten Teiler der Zahl ohne \(x\) sein. Die Zahl ohne \(x\) ist \((-8)\). Ihre Teiler sind \(\pm1,\pm2\,\pm4\,\pm8\). Setze diese Kandidaten in die Gleichung ein und prüfe, ob Null herauskommt. Du wirst fündig bei \(x_1=-4\) und bei \(x_2=2\).
Diese Methode funktioniert auch bei Polynomen mit höherem Grad als \(2\).
