Ungleichungen: (3x+1) / (x+1) > 2x

Question

die nachfolgende Aufgabe macht mich wahnsinnig:

(3x+1) / (x+1) > 2x  --> Bestimmen Sie die Lösungsmenge:

Also, zunächst die Definitionsmenge (Alle reelle Zahlen ohne die -1)

Dann Fallunterscheidung:

Ist (x+1) > 0 dann gilt: 3x+1 > 2x * (x+1)

Ist (x+1) < 0 dann gilt: 3x+1 < 2x  *(x+1)

Meine Frage: Hab ich das bis hierhin richtig gemacht?

Mein Problem: Das Auflösen bekomme ich nicht hin...

Answer 1

Hi

Das ist soweit okay.

1)

3x + 1 > 2x^2 + 2x
-2x^2 - 2x + 3x + 1 > 0
-2x^2 + x + 1 > 0
x^2 - x/2 - 1/2 < 0

Der Term auf der linken Seite der Ungleichung ist eine Parabel
mit den Nullstellen x1 = -1/2 und x2 = 1.
Wir betrachten die Parabel unterhalb der X-Achse, dann ist die Ungleichung erfüllt.
Das ist der Fall, wenn -1/2 < x < 1 gilt.

2)

3x + 1 < 2x^2 + 2x
-2x^2 - 2x + 3x + 1 < 0
-2x^2 + x + 1 < 0
x^2 - x/2 - 1/2 > 0

Links haben wir dieselbe Parabel wie oben, mit denselben Nullstellen,
jedoch soll jetzt die Parabel oberhalb der X-Achse die Ungleichung erfüllen.
Das ist der Fall, wenn
x < -1/2, x > 1 gilt.
Zusätzlich gilt die Bedingung x ≠ -1.

Gruß
gorgar

Comments

Super  


Und die Lösungsmenge wäre dann die Vereinigungsmenge beider Lösungen? Dabei entsteht doch ein Widerspruch oder?

L: (-1/2 < x < 1) U (x>1, x<-1/2)

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Wenn ich für gorgar antworten darf:

Beachte noch die weitere Bedingung:

1) x≥-1

3x + 1 > 2x² + 2x
-2x² - 2x + 3x + 1 > 0
-2x² + x + 1 > 0
x² - x/2 - 1/2 < 0

-> Das ist der Fall, wenn -1/2 < x < 1 gilt.

Also auch insgesamt, -1/2 < x < 1

 

und

2) x<-1

3x + 1 < 2x² + 2x
-2x² - 2x + 3x + 1 < 0
-2x² + x + 1 < 0
x² - x/2 - 1/2 > 0

-> Das ist der Fall, wenn x < -1/2 bzw. x > 1

Also insgesamt: x<-1

 

Nun davon die Schnittmenge nehmen:

L: (x < -1) U (-1/2 < x < 1)

 

Grüße

(P.S.: Damit man uns nicht nachsagt, wir könnten nur Mathe. Es heißt Widerspruch :) )

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Du hast Recht. Sowohl mit der Lösungsmenge als auch mit dem Widerspruch;))))