Polynom Nullstelle zerlegbar

Question

Text erkannt:

(a) Zeigen Sie, dass ein Polynom \( f \in K[X] \) vom Grad 2 oder 3 genau dann zerlegbar ist, wenn \( f \) eine Nullstelle in \( K \) besitzt.
(b) Sei \( f(X)=\sum \limits_{i=0}^{n} a_{i} X^{i} \in \mathbb{Z}[X] \) ein Polynom mit einer Nullstelle \( z \in \mathbb{Z} \). Zeigen Sie, dass dann \( z \mid a_{0} \) gilt.

Text erkannt:

Bestimmen Sie mit Hilfe des Verfahrens von Krylow die Minimalpolynome von \( \phi \) und \( \psi \).
(a) Zeigen Sie, dass ein Polynom \( f \in K[X] \) vom Grad 2 oder 3 genau dann zerlegbar ist, wenn \( f \) eine Nullstelle in \( K \) besitzt.
(b) Sei \( f(X)=\sum \limits_{i=0}^{n} a_{i} X^{i} \in \mathbb{Z}[X] \) ein Polynom mit einer Nullstelle \( z \in \mathbb{Z} \). Zeigen Sie, dass dann \( z \mid a_{0} \) gilt.

Comments

Wann heißt ein Polynom denn zerlegbar?

Answer 1

Wenn z eine Nullstelle ist gilt

\( \sum \limits_{i=0}^{n} a_{i} z^{i} =0 \)

\(  \sum \limits_{i=1}^{n} a_{i} z^{i} = -a_{0} \)

\( z* \sum \limits_{i=1}^{n} a_{i} z^{i-1} = -a_{0} \)

\( z* (- \sum \limits_{i=1}^{n} a_{i} z^{i-1} )= a_{0} \)

Also ist a_o ein Produkt ganzer Zahlen (Denn die a_i sind ja auch alle aus Z.)

bei dem der eine Faktor z ist. Also z | a_o .