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(a) Zeigen Sie, dass ein Polynom \( f \in K[X] \) vom Grad 2 oder 3 genau dann zerlegbar ist, wenn \( f \) eine Nullstelle in \( K \) besitzt.
(b) Sei \( f(X)=\sum \limits_{i=0}^{n} a_{i} X^{i} \in \mathbb{Z}[X] \) ein Polynom mit einer Nullstelle \( z \in \mathbb{Z} \). Zeigen Sie, dass dann \( z \mid a_{0} \) gilt.


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Bestimmen Sie mit Hilfe des Verfahrens von Krylow die Minimalpolynome von \( \phi \) und \( \psi \).
(a) Zeigen Sie, dass ein Polynom \( f \in K[X] \) vom Grad 2 oder 3 genau dann zerlegbar ist, wenn \( f \) eine Nullstelle in \( K \) besitzt.
(b) Sei \( f(X)=\sum \limits_{i=0}^{n} a_{i} X^{i} \in \mathbb{Z}[X] \) ein Polynom mit einer Nullstelle \( z \in \mathbb{Z} \). Zeigen Sie, dass dann \( z \mid a_{0} \) gilt.

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Wann heißt ein Polynom denn zerlegbar?

1 Antwort

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Wenn z eine Nullstelle ist gilt

\( \sum \limits_{i=0}^{n} a_{i} z^{i} =0 \)

\(  \sum \limits_{i=1}^{n} a_{i} z^{i} = -a_{0} \)

\( z* \sum \limits_{i=1}^{n} a_{i} z^{i-1} = -a_{0} \)

\( z* (- \sum \limits_{i=1}^{n} a_{i} z^{i-1} )= a_{0} \)

Also ist ao ein Produkt ganzer Zahlen (Denn die ai sind ja auch alle aus Z.)

bei dem der eine Faktor z ist. Also z | ao .

Avatar von 289 k 🚀

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