Beweis das ebenfalls Basis gebildet wird

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Basis \(B=\left\{x_{1}, x_{2}, x_{3}\right\}\) des \(\mathbb{R}^3\)

Zu zeigen ist, das die Vektoren \(y_{1} = x_{1}-x_{3}, y_{2} = x_{1} + x_{2}\) und \(y_{3} = x_{1} - x_{2} +x_{3}\) ebenfalls eine Basis des \(\mathbb{R}^3\) bilden.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz war, seien \(λ_{1}, λ_{2}, λ_{3} \in K\) dann:

$$λ_{1}(y_{1}-y_{3})+λ_{2}(y_{1}+y_{2})+λ_{3}(y_{1}-y_{2}+y_{3}) = 0 \\ (λ_{1}+λ_{2}+λ_{3})y_{1}+(λ_{2}-λ_{3})y_{2}+(λ_{3}-λ_{1})y_{3} = 0$$

Das ganze war analog zu diesem Eintrag. Reicht es so schon um die Fragestellung zu zeigen?

Answer 1

Aloha :)

$$\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1-x_3\\x_1+x_2\\x_1-x_2+x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}x_1+\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}x_2+\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}x_3=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1\\1 & 1 & 0\\1 & -1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$$$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1\\1 & 1 & 0\\1 & -1 & 1\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\-1 & 2 & -1\\-2 & 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}$$$$x_1=\frac{1}{3}\left(y_1+y_2+y_3\right)\quad;\quad x_2=\frac{1}{3}\left(-y_1+2y_2-y_3\right)\quad;\quad x_3=\frac{1}{3}\left(-2y_1+y_2+y_3\right)$$Die alten Basisvektoren \(x_i\) lassen sich eindeutig als Linearkombination der neuen Basisvektoren \(y_1\) ausdrücken. Daher bilden auch die \(y_i\) eine Basis. Theoretisch hätte es schon gereicht zu zeigen, dass die \(3x3\)-Matrix invertierbar ist.

Answer 2

Reicht es so schon um die Fragestellung zu zeigen?

Wenn dir selbst nicht klar ist, ob du etwas bewiesen hast oder nicht, dann reicht das auf keinen Fall.

Mein Ansatz war, seien \(λ_{1}, λ_{2}, λ_{3} \in K\)

Wo kommt das \(K\) auf ein mal her. Das steht nicht in der Aufgabenstellung.

\(λ_{1}(y_{1}-y_{3})+λ_{2}(y_{1}+y_{2})+λ_{3}(y_{1}-y_{2}+y_{3}) = 0\)

Eher so:

Seien \(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\in\mathbb{R}\) mit

        \(\lambda_1y_1 + \lambda_2y_2 + \lambda_3y_3 = 0\).

Du musst zeigen, dann dann \(\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0\) ist.

Dazu kannst du die Definition der \(y_i\) verwenden, also die Glecihung umschreiben zu

        \(\lambda_1\left(x_1-x_3\right) + \lambda_2\left(x_1 + x_2\right) + \lambda_3\left(x_1-x_2+x_3\right) = 0\).

Jetzt umformen und die lineare Unabhängigkeit der \(x_i\) verwenden.