Ist Lambda in K ein Eigenwert von C, dann ist f(Lambda) ein Eigenwert von f(C)

Question

Aufgabe:

Sei \( C \in K^{n \times n} \) und \( f(X) \in K[X] \) ein Polynom. Zeigen Sie: Ist \( \lambda \in K \) ein Eigenwert von \( C \), dann ist \( f(\lambda) \) ein Eigenwert von \( f(C) \). Erhalten wir alle Eigenwerte von \( f(C) \) auf diese Art?

Comments

Schnapp dir halt mal einen Eigenvektor von \( C \) bezüglich \( \lambda \). Was passiert wenn du den an \( f(C) \) dran multiplizierst?

Außerdem kannst du ja mal eine 2x2 Matrix suchen die keine Eigenwerte hat, aber deren Quadrat Eigenwerte besitzt. Das sollte dann den zweiten Teil der Frage beantworten.