Komposition ist eine Verknüfung auf X: Für alle Funktionen

Question

Frage:

1).

Es sei M eine nichtleere Menge und X die Menge aller Funktionen M → M.
Komposition ist eine Verknüfung auf X: Für alle Funktionen f , g : M → M
ist f ◦ g ebenfalls eine Funktion M → M.

2)

Es sei X die Menge aller Funktion R → R.

Es seien f , g, h ∈ X. Wegen der Definition (F1 ◦ F2)(y) = F1(F2(y)) gilt
((f ◦ g) ◦ h)(x) = (f ◦ g)(h(x)) = f(g(h(x))
und
(f ◦ (g ◦ h))(x) = f((g ◦ h)(x)) = f(g(h(x)),
so dass
((f ◦ g) ◦ h)(x) = (f ◦ (g ◦ h))(x)
für alle x ∈ X. Folglich gilt (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h), d.h. ◦ ist assoziativ.

Es sei f(x) = sin x und g(x) = 2x. Dann ist f(g(π/2)) = sin(π) = 0 aber g(f(π/ 2)) = 2 sin(π/2) = 2.

Folglich ist f ◦ g != g ◦ f , d.h. ◦ ist nicht kommutativ.

Problem/Ansatz:

Ich habe nicht ganz verstanden, bei 1 steht, dass Komposition bei Funktionen eine Verknüfung fuer alle Funktionen ist.

aber bei 2 geht nicht weil es nicht kommutativ ist.

Answer 1

aber bei 2 geht nicht

Präzisiere doch mal, was du mit "geht nicht" meinst.

weil es nicht kommutativ ist.

Nein. Bei 2. wurde gezeigt, dass \(\circ\) nicht kommutativ ist.

Die Tatsache, dass \(\circ\) nicht kommutativ ist, wurde aber nicht als Begründung für irgendetwas herangezogen. Das Wort "weil" ist hier dehalb nicht angebracht.

Comments

mit "geht nicht" meinte ich, dass die Komposition von den Funktionen nicht Verknüfung ist.

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Definitionen
Es sei X eine nichtleere Menge. Eine Verknüpfung · auf X heißt
(i) assoziativ, falls (a · b) · c = a · (b · c) für alle a,b,c ∈ X,
(ii) kommutativ, falls a · b = b · a für alle a, b ∈ X.

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und ich weisse dass, alle Verknüpfung  assoziativ & kommutativ sein muessen.

deswegen dachte ich, dass kompositionen nicht  verknüpfung sind, weil sie nicht kommutativ sind

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Definitionen
Es sei X eine nichtleere Menge. Eine Verknüpfung · auf X heißt
(i) assoziativ, falls (a · b) · c = a · (b · c) für alle a,b,c ∈ X,
(ii) kommutativ, falls a · b = b · a für alle a, b ∈ X.

Diese Definition definiert nicht, was eine Verknüpfung ist.

Diese Definition definiert, unter welchen Bedingungen eine Verknüpfung assoziativ ist.

Diese Definition definiert, unter welchen Bedingungen eine Verknüpfung kommutativ ist.

Definition einer Verknüpfung ist üblicherweise: "Eine Verknüpfung auf einer Menge \(M\) ist eine Abbildung von \(M\times M\) nach \(M\)."