Zahlenwert für b bestimmen

Question

Aufgabe:

Eine Radiusfunktion f zu f(x) = e^pi*x+b erzeugt über dem Intervall (-unendlich; 1) einen links offenen und unendlich langen Rotationskörper mit dem Volumen V(-unendlich;1)= 0,5

Wie kann ich hierbei den Zahlenwert für b bestimmen.

Problem/Ansatz:

Vielleicht:

0,5 = pi * Integral von -unendlich bis 1 von (f(x))^2

Answer 1

Aloha ;)

Wir bestimmen das Volumen des Rotationskörpers$$V=\pi\!\!\int\limits_{-\infty}^1\left(e^{\pi\,x+b}\right)^2dx=\pi\!\!\int\limits_{-\infty}^1e^{2\pi\,x}\,e^{2b}dx=\pi e^{2b}\left[\frac{e^{2\pi x}}{2\pi}\right]_{-\infty}^1\!\!\!=\pi e^{2b}\left(\frac{e^{2\pi}}{2\pi}-0\right)=\frac{1}{2}e^{2b+2\pi}$$\(b\) folgt aus der Forderung an das Volumen:$$\frac{1}{2}\stackrel!=V=\frac{1}{2}e^{2(b+\pi)}\quad\implies\quad b=-\pi$$