Wie finde ich diese ganzrationale Funktion des 3. Grades?

Question

Aufgabe:

Gesucht ist die ganzrationale Funktion 3. Grades, die durch den Punkt O (0/0) mit der Steigung -6 verläuft und einen Hochpunkt H(-2/10) besitzt.

Problem/Ansatz:

Wie genau soll ich die Aufgabe Lösen? Kann mir jemand den Lösungsweg zeigen?

Comments

Hier ist ein weiteres Beispiel, an dem du dich orientieren kannst:

https://www.mathelounge.de/543400/ganzrationale-funktion-3-grades

Answer 1

Gesucht ist die ganzrationale Funktion 3. Grades

(1)        f(x) = ax³ + bx² + cx + d

die durch den Punkt O (0/0)

(2)        f(0) = 0

mit der Steigung -6 verläuft

(3)        f'(0) = -6

und einen Hochpunkt H(-2/10) besitzt.

(4)        f(-2) = 10

(5)        f'(-2) = 0

Stelle mittels (1) lineare Gleichungen für (2), (3), (4) und (5) auf und löse das lineare Gleichungssystem. Setze die Lösung in (1) ein.

Answer 2

Aloha :)

Willlkommen in der Mathelounge... \o/

Von der gesuchten Funktion kennen wir die Grundform und können ihre Ableitungen bestimmen:$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\quad;\quad f'(x)=3ax^2+2bx+c$$

1) Die Gesuchte geht durch den Urpsrung:$$0\stackrel!=f(0)=d\implies d=0$$

2) Die Gesuchte hat im Ursprung die Steigung \(-6\):$$-6\stackrel!=f'(0)=c\implies c=-6$$

3) Die Gesuchte hat bei \(x=-2\) einen Hochpunkt:$$0\stackrel!=f'(-2)=12a-4b-6\implies6a-2b=3$$

4) Der Punkt \((-2|10)\) liegt auf dem Graphen:$$10\stackrel!=f(-2)=-8a+4b+12\implies4a-2b=1$$

Wir subtrahieren die Gleichung aus (4) von der Gleichung aus (3)$$(6a-2b)-(4a-2b)=3-1\implies2a=2\implies a=1$$und setzen das Ergebnis in die Gleichung aus (4) ein:$$4-2b=1\implies b=\frac{3}{2}$$Die Gesuchte ist also:$$f(x)=x^3+\frac{3}{2}x^2-6x$$

~plot~ x^3+1,5x^2-6x ; {0|0} ; {-2|10} ; -6x ; [[-4|3|-11|11]] ~plot~

Answer 3

"Gesucht ist die ganzrationale Funktion 3. Grades, die durch den Punkt O (0|0) mit der Steigung -6 verläuft und einen Hochpunkt H(-2|10) besitzt."

Ich verschiebe den Graph um 10 Einheiten nach unten. Weiter mit der Nullstellenform der Parabel:

H ´ ( - 2 | 0)

f(x)=a*(x+2)^2*(x-N) , weil Hochpunkt doppelte Nullstelle ist.

O´ (0|-10)

f(0)=a*(0+2)^2*(0-N)=-4a*N →-4a*N=-10 → a=\( \frac{5}{2N} \)

f(x)=\( \frac{5}{2N} \) *[(x+2)^2*(x-N)]

Steigung -6 in O´ (0|-10)

f ´ ( x )= \( \frac{5}{2N} \)* [2* (x+2)*(x-N)+(x+2)^2 ]

f ´ ( 0 )= \( \frac{5}{2N} \)* [2* (0+2)*(0-N)+(0+2)^2 ]=5  / (2N)* [-4N+4 ]

\( \frac{5}{2N} \)* [-4N+4 ]=-6  → N=2,5 → a=\( \frac{5}{2*2,5} \)=1

f(x)=(x+2)^2*(x-5/2)

gesuchte Funktion:

p(x)=(x+2)^2*(x-2,5)+10