Was stellen Sie zu dieser Zahlenfolge fest?

Question

Wählen Sie eine zweistellige Zahl, Bilden Sie zur Summe der Quadrate ihrer Ziffern und von der so gewonnenen Zahl wiederum die Summe der Quadrate der Ziffern. Und wiederholen Sie dies beliebig oft. Was stellen Sie fest?

Comments

Ist die Feststellung, dass jede dieser Folgen in einen Zyklus mündet? Und es entweder der konstante Zyklus 1 -> 1 oder der etwas längere 89 -> 145 -> 42 -> 20 -> 4 -> 16 -> 37 -> 58 -> 89 ist?

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Genau das ist die Feststellung, die aber in keiner Antwort enthalten ist.

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Es ist keine Antwort, da ich mir noch keinen Beweis für die zweite Behauptung überlegt habe :)

Dass es stets in einem Zyklus enden muss ist relativ offensichtlich, da alle in der Folge auftauchenden Zahlen \( \le 162 = 9^2 + 9^2 \) sind. Dann folgt das direkt aus dem Schubfachprinzip.

Answer 1

Wählen Sie eine zweistellige Zahl: 24

Summe der Quadrate ihrer Ziffern 2^2+4^2=4+16=20

Summe der Quadrate ihrer Ziffern:2^2+0^2=4

Nun den gleichen Weg mit einer anderen Zahl.

...

Comments

Wenn die Summe der Quadrate der Ziffern 4 ist, muss zu 04 wieder die Summe der Quadrate der Ziffern gebildet werden. Und so weiter, bis man etwas feststellt. Um diese Feststellung geht es.

Answer 2

Hallo Roland,

5 Zahlen enden bei der 1 und 6 Zahlen bei 100. Die Zahlen 87, 88, 89 und alle Zahlen größer oder gleich 95 sowie ihre Pendants (78, 59, 69, usw) werden sofort dreistellig.

Wie soll es dann weiter gehen?

alle anderen Zahlen werden irgendwann zur 89 und danach dreistellig.

Comments

Auch wenn die Zahlen dreistellig werden, soll die Summe der Quadrate ihrer Ziffern gebildet werden. Was stellt man nach genügend vielen Gliedern der Folge fest?

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Auch wenn die Zahlen dreistellig werden, soll die Summe der Quadrate ihrer Ziffern gebildet werden. Was stellt man nach genügend vielen Gliedern der Folge fest?

Dann enden folgende Zahlen

10 13 19 23 28 31 32 44 49 68 70 79 82 86 91 94 97

bei der 1. Zum Beispiel die 91$$91\to82\to68\to100\to1\to1$$

Und alle anderen durchlaufen eine periodische Sequenz, die bei der 89 beginnt.$$ \dots \to 89\to145\to42\to20\to4\to16\to37\to58\to89$$

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Jetzt ist es richtig (stand schon im Kommentar direkt unter der Aufgabe).

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Ah! ... ich habe was gefunden. Die Zahlen, die auf 1 enden, sind die glücklichen:

https://oeis.org/A007770.

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stand schon im Kommentar direkt unter der Aufgabe

... den man nicht mitbekommt, wenn man zeitgleich an einem eigenen Kommentar schreibt ;-)

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Da hast du natürlich recht. Danke auch für den Link.

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Es gibt bei meiner neuesten Frage paar Unklarheiten(siehe Frage), wie man die eingeschlossene Fläche ohne y Wert(wie z.B. y= 2x-1) berechnet, stattdessen mit diesen Werten y=0, x= 0, x= 6: