a)Für welche Werte von t hat der Graph Extremstellen?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktionenschar ft mit ft(x) = e^x -tx; t E R

a)Für welche Werte von t hat der Graph Extremstellen ?

Für welche Werte von t hat der Graph keine, eine bzw. zwei Nullstellen ?

b)Zeigen sie rechnerisch dass der Graph von ft für alle t>0 einen Tiefpunkt hat und bestimmen sie dessen Koordinaten in Abhängigkeit von t. Auf welcher Ortskurve liegen die Tiefpunkte der Graphen von ft?

Problem/Ansatz:

Bei a) dachte ich erste Ableitung dann die funktion gleich null, als letztes nach t formen

Answer 1

Hallo

deine Idee zu a ist richtig, "umformen nach t" ist ok, aber dabei feststellen für welch t die Umformung möglich ist.

b) zusätzlich f''>0 bei f'(x0) =0 zeigen.  dann  f(x0) bestimmen  und (x0,f(x0)) gibt die Ortskurve.

Comments

Kannst du B) vielleicht ausführlicher schreiben, damit ich das besser vestehen kann

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für a) habe ich zunächst t=e^x raus

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hallo

du setzt f'(x)=0 und findet ein xm das von t abhängt, damit es ein Min ist muss f''(xm)>0 sein.

dann hast du die Punkte (xm(t),f(xm(t)) =(x,y) auf denen alle Min liegen, da wirfst du t raus und hast y(x) auf dem alle Min liegen.

aus a) hast du t>0 und xm=ln(t)

Gruß lul

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verstehe ich nicht kannst du mir das vielleicht netterweise vorrechnen ? Bin völlig verwirrt

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habe für x= ln(t) raus und habe es in die zweite Ableitung eingesetzt und weiß t muss > 0 sein also ein TP was dannach ?

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Hallo

dass t>0 sein muss, weil sonst ln(t) nicht existiert gehört schon nach a. jetzt xm=ln(t) in f'' einsetzen und feststellen dass f''>0 also ist bei x=ln(t) ein Min. dann f(xn)=e^ln(t)+t*lnt=t*(1+ln(t))

du hast also eine Kurve mit x=ln(t), y=t*(1+ln(t)) und willst die wieder als y(x) schreiben, also t=e^x->  y=e^x*(1+x) ist die Ortskurve der Minima.

Gruß lul

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ok danke dir. Kannst du mir auch a einmal zeigen ?

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Hallo bist du noch da ?

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Hallo

a) hast du doch gelöst mit x=ln(t) deshalb t>0

lul

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ja aber was ist mit der nullstelle ? Das verstehe ich nicht

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Hallo

eine Bedingung  für einen lokalen Extremwert ist doch f'(x)=0 die hast du gefunden. Nullstellen der Funktion sind nicht gefragt. ( und kann man selbst bei bekannten t nicht einfach bestimmen, nur numerisch)

deshalb verstehe ich deine Frage eigentlich nicht.

lul

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die nächste Aufgabe bei a) ist

Für welche Werte von t hat der Graph keine, eine bzw. zwei Nullstellen ?