Bestimmen Sie die Steigung der Tangente/Steigungswinkel und Graphen skizzieren im Intervall

Question

Aufgabe:

1) Skizzieren Sie im Intervall [0; 10] den Graphen einer Funktion f mit f'(7) > f'(3) > f'(5) > f'(9) > f'(1) und f'(5) = 0

2) Die Flugbahn eines Basketballwurfs kann mit der Funktionsgleichung h(x) = -0,1x² + 0,8x + 2 modelliert werden (h: Höhe in m; x; horizontale Entfernung des Balles vom Werfer in m).

a) Bestimmen Sie die Steigung der Tangente im Abwurfpunkt mit dem Grenzwert des Differenzenquotienten.

b) Ermitteln Sie, unter welchem Steigungswinkel der Ball die Hand des Werfers verlässt.

c) Der Ball trifft in der fallenden Bewegung den in 3,05m Höhe aufgehängten Korb. Bestimmen Sie die Entfernung des Werfers zum Korb. Runden Sie das Ergebnis auf cm und ermitteln Sie den Flugwinkel, in dem der Ball den Korb trifft.

Problem/Ansatz:

Bei der ersten Aufgabe verstehe ich nicht genau, wie ich die Funktionen einzeichnen soll. Ich weiß bis jetzt etwas im Bereich x von 0-10 und das es wahrscheinlich alles Tangenten sind oder? Da es die Ableitung ist, aber ich weiß nicht welche Steigung sie nun hat, bzw. haben die alle den Y Wert 0? Also (7|0), (3|0)..? Das würde aber kein Sinn machen

Bei der zweiten Aufgabe 2a) hab ich jetzt die erste Ableitung berechnet, reicht das als Steigung der Tangente? Also h'(x) = -0,2x + 0,8

Bei 2b) wüsste ich nicht wie ich das Steigungsdreieck einzeichnen soll und von wo, in der Exponentialfunktion oder in der Tangensteigung?

Bei 2c) Auch hier wüsste ich nicht wie ich das Steigungsdreieck (Flugwinkel) einzeichnen soll. Die Entfernung X erhält man vermutlich durch das gleichsetzen der Funktion mit dem Wert Y = 3,05m oder?

Answer 1

Hallo,

zu der 1. Aufgabe kann ich noch nichts sagen.

Aufgabe 2

a) Bestimmen Sie die Steigung der Tangente im Abwurfpunkt mit dem Grenzwert des Differenzenquotienten.

Die Ableitung ist richtig, aber du musst noch für x die x-Koordinate des Abwurfpunktes einsetzen.

b) Steigungswinkel - Es gilt \(tan(\alpha)=f'(x)\)

c) "erhält man vermutlich durch das gleichsetzen der Funktion mit dem Wert Y = 3,05m oder"

Ja, das ist richtig und den Winkel berechnest du wie bei b)

Gruß, Silvia

Comments

danke für deine Antwort!

Zu a) Habe es leider immer noch nicht ganz verstanden.. Wo wäre eigentlich der Abwurfpunkt, wenn man den Graphen zeichnen würde, dann wäre es ja (0|2) oder nicht? Aber ist wirklich x = 0 richtig? Dann wäre die Ableitung ja nur f'(x) = 0,8

Und was bedeutet der Grenzwert des Differenzenquotienten?

Zu b) Muss man hier die Ableitung zuerst einzeichnen als Tangente? Weil man braucht ja noch einen Wert für tan(a) oder ist der Wert die Ableitung? Mit 0,8 wäre es 0,01 und dann mit tan-1 0,57 also ein Winkel von 57°?

Zu c) Habe versucht das ganze gleichzusetzen aber bin irgendwie auf ein Hindernis gestoßen.

Wo liegt der Fehler?

Y = f(x)

3,05 = -0,1x² + 0,8x + 2 | -2

1,05 = -0,1x² + 0,8x | • 1,25

1,3125 = -0,105x² + x |√

1,15 = -0,105x + x

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zu a)

Alles richtig, was du zum Abwurfpunkt geschrieben hast. Ich kann das mit dem Grenzwert des Differenzquotieten nur mit der "h-Methode".

zu b)

Für den Winkel berechnest du im Taschenrechner \( tan^{-1} (0,8)\)  = 38,66°

zu c)

Ich weiß nicht, warum du mit 1,25 multipliziert hast. Unabhängig davon kannst du - wie im nächsten Schritt - nicht einfach die Wurzel aus einer Summe ziehen. Wie wäre es mit der pq-Formel?

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Okay, nochmals danke!

Habe jetzt a) und b) gelöst.

c) bin ich noch etwas überfragt, habe jetzt x1 = 0,7 und x2 = -1,5 bekommen durch die pq-Formel. Er hat alsk zwei Entfernungen? P1 (0,7 | 3,05) und P2 (-1,5 | 3,05)? Die x Werte stimmen irgendwie nicht ganz hab ich das Gefühl :/

Und den Flugwinkel, ich brauche dafür ja wieder die Ableitung, aber dieses mal von wo? Ist das dann tan(0,7) oder tan(-1,5)? Macht ja auch wenig Sinn

Oder warte.. Muss ich beide x Werte für den Differenzenquotienten h Methode einsetzen? Also für x0 dann 0,7 UND -1,5?

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Hab jetzt noch was versucht, nämlich ohne 3,05 davor gleichzusetzen und einfach nur die Funktion alleine in die PQ-Formel mit Vorzeichen Wechsel, dann wäre es der Punkt 1,9 | 3,05 - das macht Sinn

Aber dann ist auch ein zweiter X-Wert da, was mach ich mit dem? 1,05 | 3,05?

Würde wahrscheinlich dann den ersten Punkt in die h-Methode tun und den zweiten einfach ignorieren..?

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Die Rechnung zu den Schnittpunkten der Parabel mit der Gerade y = 3,05 sieht bei mir so aus:

\(-0,1x^2+0,8x+2=3,05\\ -0,1x^2+0,8x-1,05=0\\ x^2-8x+10,5=0\\ x_{1,2}=4\pm\sqrt{16-10,05}\\ x_{1,2}=4\pm 2,35\)

Also x = 1,65 bzw. 6,35

Da der Ball aus der fallenden Bewegung den Korb trifft, geht es hier also um x = 6,35

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Uff.. Okay Hab das mal 10 vergessen.. Da war ich wohl etwas zu schnell.

Den Steigungswinkel jetzt einfach mit tan-1(6,35) ausrechnen? Hab den Punkt (6,35 | 3,05) in der H-Methode eingesetzt in der Funktion aber bekomme da am Ende nicht nur h's raus, sondern auch eine Zahl ohne h.. Hmm

Und 1) hab ich auch noch nicht verstanden

Danke für deine Hilfe dennoch, war schon sehr viel bis jetzt, bin sehr dankbar darüber.

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Du musst erst einmal die Steigung m an dem Punkt 6,35 berechnen, also f'(6,35)

bekomme da am Ende nicht nur h's raus, sondern auch eine Zahl ohne h

Das ist das Ziel, denn h geht gegen null und sollte daher in der Ableitung = f'(x) auch nicht mehr auftauchen.

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Achso, meinte in der Rechnung, hatte dann lim h → x0 = -4,03225-h²-1,27h+5,08+0,8h : h

Das darf ja nicht passieren oder? Dürfen ja nur h's sein in der Rechnung

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Das muss ich erst einmal selber rechnen.

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Mit der h-Methode sieht das bei mir so aus:

\(f(x)=-0,1x^2+0,8x+2\\ f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ =\lim\limits_{h\to0}\frac{(-0,1(x+h)^2+0,8(x+h)+2)-(-0,1x^2+0,8x+2)}{h}\\ =\lim\limits_{h\to0}\frac{-0,1(x^2+2hx+h^2)+0,8x+0,8h+2-(-0,1x^2+0,8x+2)}{h}\\ =\lim\limits_{h\to0}\frac{-0,1x^2-0,2hx-0,1h^2+0,8x+0,8h+2+0,1x^2-0,8x-2}{h}\\ =\lim\limits_{h\to0}\frac{-0,2hx-0,1h^2+0,8h}{h}\\ =\lim\limits_{h\to0}\frac{h(-0,2x-0,1h+0,8)}{h}\\ =\lim\limits_{h\to0}-0,2x+0,1h+0,8\\ =-0,2x+0,8\\[15pt] f'(6,35) = -0,47\)

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Riesendank! Hab alles nun etwas mehr verstanden.

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Das freut mich. Zu Aufgabe 1 schicke ich nachher noch eine Skizze.