Aufgabe:
Sei V ein endlich-dimensionaler euklidischer bzw. unitärer K-Vektorraum. Zeigen oder widerlegen Sie:
$$ f^{-1} (U^{\perp}) = f^* (U) ^{\perp} $$ für alle f aus End(V) und alle Untervektorräume U in V.
Problem/Ansatz:
f* steht hier für eine adjungierte Abbildung. Ich verstehe die Aussage, dass es egal ist, ob wir zuerst den Komplementärraum nehmen und durch f transformieren oder ob wir erst U transformieren und dann den Komplementärraum davon nehmen. Wenn ich mir die Aufgabe anschaue, dann sieht f^-1 und f^* so aus als würde es hier um orthogonale Matrizen gehen. Bei orthogonalen Matrizen finde ich meine obige Interpretation auch einleuchtend. Wie beweist man das? Falls nicht, was wäre ein Gegenbeispiel?
