Aufgabe:
Ich muss eine vollständigen Induktion lösen welche Fakultäten beinhaltet.
\( \sum\limits_{k=3}^{n}{k\cdot k!} = (n+1)! -6 \)
Problem/Ansatz:
Vorab.. ich habe die Lösung bereits und suche hierbei nur nach einer Erläuterung warum das so funktioniert.
Auch wenn ich weiß wie man Fakultäten berechnet, weiß ich leider nicht wie man diese wirklich ausmultipliziert/vereinfacht.
Die Induktion an sich ist kein Problem und ich komme relativ schnell an folgendes Problem:
$$ (n+1)! - 6 + (n+1)*(n+1)! $$
Die Induktionsvoraussetzung setzt für n+1 folgende Formel = $$ (n+2)! - 6 $$
In gewisser Weiße sehe ich das -6 als gleich an und muss somit nur noch $$ (n+1)*(n+1)! + (n+1)! $$ irgendwie verbinden, hier mangelt es allerdings in gewisser Weiße an Formeln / Umrechnungsarten.
Ich hatte Online eine ähnliche Aufgabe und Lösung gefunden, wurde aber aus der Lösung nicht wirklich schlau, da das schlicht weg Lösungen sind und keine wirkliche Erläuterungen. Es kann auch einfach sein, dass ich gerade komplett blind bin.. seit einer Stunde :D
Was ich gesehen habe ist folgendes, angewandt auf meine Formel müsste es dann so lauten:
$$ (n+1)! - 6 + (n+1)*(n+1)! $$
Diesen schritt verstehe ich nun nicht, gibt es hierzu eine gute Erläuterung, Regele sonstiges?
$$ (n+1)! * (1 + (n+1)) - 6 $$
Ab hier ist alles wieder klar
$$ (n+1)! * (n+2) - 6 $$
$$ (n+2)! - 6 $$
Aka Induktion ist als wahr bewiesen.
