Überprüfen Sie rechnerisch, ob sich die beiden Ebenen schneiden.

Question

Text erkannt:

2) Überprüfen Sie rechnerisch, ob sich die beiden Ebenen schneiden.

Aufgabe:

Answer 1

Hallo,

Die Zeichnung ist etwas verwirrend, da dort ein Strich zu viel eingezeichnet wurde, der auf den ersten Blick wohl die Schnittgerade andeuten soll. Diese liegt dort aber nicht.

Klick bitte auf obiges Bild und drehe die Szene, dann sieht man, dass diese Strecke für die Aufgabe keinen Belang hat.

Die Ebene \(E_1\) (hellblau) ist gegeben aus den drei Punkten $$\begin{pmatrix}6\\ 0\\ 0\end{pmatrix}, \space \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 3\end{pmatrix}, \space \begin{pmatrix}0\\ 6\\ 3\end{pmatrix} \in E_1$$und die zweite Ebene \(E_2\) (grün) über die drei Punkte auf den Achsen$$\begin{pmatrix}2\\ 0\\ 0\end{pmatrix}, \space \begin{pmatrix}0\\ 6\\ 0\end{pmatrix}, \space \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 6\end{pmatrix} \in E_2$$Da die beiden Ebenen \(E_1\) und \(E_2\) über ihre Spurgeraden gegeben sind, lässt sich die Schnittgerade leicht über die Schnittpunkte der Spurgeraden berechnen. Der Schnittpunkt \(P\) (s. Bild) ist die Mitte der hinteren Würfelfläche und man kann ihn sofort hinschreiben:$$P = \begin{pmatrix}0\\ 3\\ 3\end{pmatrix}$$Der Punkt \(Q\) ist der Schnittpunkt der Spurgeraden durch \((6|\,0|\, 0))\) und \((0|\,0|\,3)\) sowie durch \((2|\,0|\,0)\) und \((0|\,0|\, 6)\) (s. Bild). Der Schnittpunkt \(Q\) ist$$Q = \begin{pmatrix}1,2\\ 0\\ 2,4\end{pmatrix}$$Falls Du dazu Fragen hast, so melde Dich bitte.

Also ist die Schnittgerade \(g\)$$\begin{aligned} g: \quad \vec x &= P + (Q-P)t' \\ &= \begin{pmatrix}0\\ 3\\ 3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1,2\\ -3\\ -0,6\end{pmatrix} t'\end{aligned}$$und mit \(t' = -5/3\, t\) sieht es etwas gefälliger aus:$$g: \quad \vec x = \begin{pmatrix}0\\ 3\\ 3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-2\\ 5\\ 1\end{pmatrix} t$$

Answer 2

Zunächst musst du zwei Ebenengleichungen aufstellen. Dafür musst du die einzelnen Punkte ablesen. Die wären:

A(6/0/0); B(6/6/0); C(0/6/3); D(0/0/3) für die erste Ebene.

E₁: \(\vec{x}=\overrightarrow{OA}+r\ \cdot \overrightarrow{AB}+s\ \cdot \overrightarrow{AD}\\ ~~~~~~~~~= \begin{pmatrix} 6\\0\\0 \end{pmatrix}+ r\ \cdot \begin{pmatrix} 0\\6\\0 \end{pmatrix}+s\ \cdot \begin{pmatrix} -6\\0\\3 \end{pmatrix} \).

Diese Ebenengleichung können wir nun in die Koordinatenform umwandeln.

\(\vec{n}: \begin{pmatrix} 0\\6\\0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -6\\0\\3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 18\\0\\36 \end{pmatrix}=18\begin{pmatrix} 1\\0\\2 \end{pmatrix}; wähle\ \vec{n}=\begin{pmatrix} 1\\0\\2 \end{pmatrix} \)

KF: x+2z=6

Punktprobe Punkt C: 2·3=6 ⇔ 6=6 \(\surd\).

Jetzt müssen wir nur noch die Ebenengleichung der zweiten Ebene aufstellen. Die Punkte lauten:

E(2/0/0); F(0/6/0); G(0/0/6)

E₂: \(\vec{x}=\overrightarrow{OE}+t\ \cdot \overrightarrow{EF}+ u\ \cdot \overrightarrow{EG}\\~~~~~~~~~~= \begin{pmatrix} 2\\0\\0 \end{pmatrix}+t\ \cdot \begin{pmatrix} -2\\6\\0 \end{pmatrix}+u\ \cdot\begin{pmatrix} -2\\0\\6 \end{pmatrix}\)

Überprüfung, ob die Ebenen sich schneiden:

\(\left. \begin{array}{c} x=2-2t-2u\\y=6t\\z=6u \end{array} \right\} in \ KF\ von\ E_1\ einsetzen \)

2−2t−2u+12u=6 ⇔ t=−2+5u in E₂ einsetzen, um die Schnittgerade zu bestimmen:

\(\overrightarrow{S_g}=\begin{pmatrix} 2\\0\\0 \end{pmatrix}+(-2+5u)\begin{pmatrix} -2\\6\\0 \end{pmatrix}+u\begin{pmatrix} -2\\0\\6 \end{pmatrix}\\~~~~~~=\begin{pmatrix} 6\\-12\\0 \end{pmatrix}+u\ \cdot \begin{pmatrix} −12\\30\\6 \end{pmatrix} \)

Comments

E(2/0/0); F(0/6/0); G(0/0/6)
E2: \(\vec{x}=\overrightarrow{OE}+t\ \cdot \overrightarrow{EF}+ u\ \cdot \overrightarrow{EG}\\~~~~~~~~~~= \begin{pmatrix} 2\\0\\0 \end{pmatrix}+t\ \cdot \begin{pmatrix} -2\\6\\0 \end{pmatrix}+u\ \cdot\begin{pmatrix} -2\\0\\0 \end{pmatrix}\)

Der Vektor \(\vec{EG}\) ist falsch. Besser $$\vec{EG} = \begin{pmatrix}-2\\ 0\\ 6\end{pmatrix}$$Das Endergebnis für \(\vec S_g\) ist daher auch falsch.

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Vielen Dank für den Hinweis!

Habs nun überarbeitet