Tangentewinkel einer Kontaktstelle aus 2 Winkeln berechnen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

9. Drei Walzen mit gleichem Durchmesser verkeilen sich wie
dargestellt. Welche Neigung \( \gamma \) ergibt sich für die dargestellte
Tangente an der Kontaktstelle für \( \alpha=70^{\circ} \) und \( \beta=85^{\circ} ?(\bullet \bullet) \)

Leider finde ich keinen richtigen Lösungsansatz und bräuchte deshalb ein wenig Hilfe.

PS: Die Lösung des Professors ist 30 Grad.

Answer 1

Hallo,

Die Lösung des Professors ist 30 Grad.

das ist richtig ! ;-)

Die Kreise liegen symmetrisch zur roten Strich-Punkt-Geraden, die senkrecht auf der linken Tangente steht und durch den Mittelpunkt \(M_2\) verläuft.

Diese Achse hat gegenüber der Horizontalen einen Winkel von \(90°-85° = 5°\) . Die gemeinsame Tangente (grün) der Kreise \(k_1\) und \(k_2\) hat gegenüber der Horizontalen den Winkel (hellblau) von \(90° - 70° = 20°\). Somit beträgt der Winkel der grünen Tangenten zur roten Symmetrieachse \(20°+5°=25°\) und \(\gamma\) (rot) wird zu $$\gamma = 25° + 5° = 30°$$Gruß Werner

Comments

Ich zermartere mir den halben Abend das Gehirn und du zeichnest mal eben eine rotgepunktete Symmetrieachse, die alles klar macht. Mannomann...!

---

Meine Lösung sah folgendermaßen aus :

Die drei Mittelpunkte bilden ein gleichschenkliges Dreieck

also ist  ε = δ = 180° - (α+β)
und außerdem  ζ = β (Wechselwinkel)
sowie  η = ζ-ε  und  γ = 90° - η

Insgesamt also  γ = 90° - ( ζ-ε ) = 90° - ( β - (180° - (α+β)) )  =  270° - α - 2β

---

Bis zum gleichschenkligen Dreieck war ich auch, aber den Schritt "ζ = β (Wechselwinkel)"  konnte ich heute offenbar nicht gehen.

---

aber den Schritt "ζ = β (Wechselwinkel)"  konnte ich heute offenbar nicht gehen.

Tatsächlich geht es ohne ihn sogar noch einfacher :

Im Viereck SM₁M₂M₃   ist  γ = 360° - (β+δ) - (180 - 2δ) - 90°.

PS : Und sogar noch einfacher : Im Dreieck SM₁M₃ ist γ  =  180° - β - (90°-δ)

---

Dreh das Messer ruhig noch in der Wunde... :-)

---

... und du zeichnest mal eben eine rotgepunktete Symmetrieachse

Sie ist mir praktisch vor die Füße gefallen ;-)

Wenn ich solche Bilder erzeuge, so sind das im Allgemeinen Konstruktionen. D.h. ich konstruiere die Lage der einzelnen Elemente mit den Hilfsmitteln, die mir bei Cinderella zur Verfügung stehen. \(M_1\) liegt auf der Winkelhalbierenden der Tangenten (schwarz). Durch die Lage von \(M_1\)  ist der Radius \(r\) der Kreise fest gelegt. Dann \(M_2\) zu konstruieren ist trivial.

Und \(M_3\) ist der Schnittpunkt einer Parabel mit Brennpunkt \(M_2\) mit der zur linken Tangente parallelen Geraden im Abstand \(r\). Nun schneidet eine Gerade eine Parabel aber zweimal! Und der zweite Schnittpunkt war (natürlich!) \(M_1\). Danach war dann alles klar :-)

Die Linien sind auf dem Bild noch zu erkennen (s.o.).