Logarithmus bestimmen und Erläutern den Rechenweg

Question

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\( 10 \mathbb{\Delta} \) Bestimmen Sie den Logarithmus. Erläutern Sie Ihren Rechenweg.
a) \( \log _{3}(\sqrt{3}) \)
b) \( \log _{3}(\sqrt[4]{3}) \)
c) \( \log _{4}\left((\sqrt{4})^{5}\right) \)
d) \( \log _{4}\left(\sqrt[3]{4^{7}}\right) \)

Answer 1

Aloha :)

Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion zum Potenzieren, d.h. der Logarithmus liefert den Exponenten zurück: \(\log_b(b^x)=x\). Du musst daher immer versuchen, das Argument der Logarithmusfunktion in Basis und Exponent umzuformen.

$$\log_3(\sqrt3)=\log_3(3^{1/2})=\frac{1}{2}$$$$\log_3(\sqrt[4]3)=\log_3(3^{1/4})=\frac{1}{4}$$$$\log_4\left((\sqrt4)^5\right)=\log_4\left(\left(4^{1/2}\right)^5\right)\log_4\left(4^{5/2}\right)=\frac{5}{2}$$$$\log_4\left(\sqrt[3]{4^7}\right)=\log_4\left(\left(4^7\right)^{1/3}\right)=\log_4\left(4^{7/3}\right)=\frac{7}{3}$$

Answer 2

Hallo,

a) \( \log _{3}(\sqrt{3}) \)

3^x= 3^(1/2)

-------->Exponentenvergleich:

x=1/2

b) \( \log _{3}(\sqrt[4]{3}) \)

3^x=3^(1/4)

x=1/4

c) \( \log _{4}\left((\sqrt{4})^{5}\right) \)

4^x=(4^(1/2))^5= 4^(5/2)

x=5/2

d) \( \log _{4}\left(\sqrt[3]{4^{7}}\right) \)

4^x= 4^(7/3)

x=7/3