Hallo :-)
Mit Polynomdivision wirst du hier nur schwer vorankommen, da du eine Nullstelle zuerst raten müsstest. Du kannst aber den Fakt nutzen, das Funktionen mit polynomiellen Ausdrücken immer stetig (salopp gesagt, du kannst die Funktion zeichnen, ohne den Stift abzusetzen) sind und bei ungeradem Grad mindestens eine reelle Nullstelle haben. Wegen der Stetigkeit kannst du nun mal paar Werte für \(x\) einsetzen und \(f(x)\) berechnen, zb diese Werte:
\(f(1)=-\frac{31}{12}\) und \(f(2)=\frac{4}{3}\)
Du hast also im Intervall \([1,2]\) mindestens ein Vorzeichenwechsel von \(f\), sodass es wegen der Stetigkeit von \(f\) auch mindestens eine Stelle \(t\in [1,2]\) gibt, sodass \(f(t)=0\) gilt. Genaueres zu diesem Thema kannst du mit dem Schlagwort Zwischenwertsatz nachschauen. Aber so kommst du auch erstmal weiter... . Jetzt kannst du einfachmal weiter Testwerte aus dem Intervall \([1,2]\) einsetzen, sodass du den Funktionswert zb auf zwei Nachkommastellen mit Nullen hast. Das wäre ja zb für erste Berechnungen eine einigermaßen akzeptable Näherung. Wie man geschickt bzw. effizient Näherungswerte für Nullstellen von Funktionen bekommt, kannst du zb mit dem Intervallhalbierungsverfahren oder Newton usw. erreichen.
Nochwas: Polynome vom Grad \(n\) (hier \(3\)) haben genau \(n\) Nullstellen, wobei nicht alle reell sein müssen! Hier sind aber alle drei reell.
Somit kannst du die Fläche (nur) näherungsweise ausrechnen.
