Hallo,
bei der Berechnung von φ mit der Tangensformel sind sind außerhalb des 1. Quadranten Fallunterscheidungen nötig.
Bei zn = a + b·i kannst du aber auch so vorgehen:$$ r = \sqrt{a^2 +b^2}\text{ } \text{ } und \text{ } \text{ } \textcolor{green}{φ = arccos\left(\frac { a }{ r }\right) \text{ }\text{ } wenn \text{ }\text{ }b≥0}$$$$ \text{ } \text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ }\text{ } \text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ }\text{ } \text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ }- arccos\left(\frac { a }{ r }\right)\text{ }wenn \text{ }\text{ }b<0 $$Ergibt sich φ negativ, kannst du einfach 2π addieren.
Die n Werte \(z_k\) für \(z = \sqrt[n]{w}\) erhält man mit der Indizierung k = 0,1, ... , n-1
aus der Formel $$ z_k = \sqrt[n]{r}· \left[ \text{ }cos\left( \frac { φ_w + k · 2π }{ n } \right)+ i · sin\left( \frac { φ_w + k · 2π }{ n }\right) \right] $$Die Eulersche Form ist jeweils $$z_k = \sqrt[n]{r}· e^{\frac { φ + k · 2π }{ n }\text{ }·\text{ }i} $$Gruß Wolfgang