Ist das so richtig (Gleichung im Komplexen)?

Question

könnt ihr mir vielleicht sagen, ob mein Vorgehen zur Lösung dieser Gleichung stimmt:

$$z^{4}=-3+2i$$

Polarform aufstellen:
$$r=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$$
$$\phi=tan^{-1}(\frac{2}{3}) (ca. 0.588)$$

Wurzel ziehen:
$$z^{4}=\sqrt{13}e^{0.588*i}$$
$$=>z_{1}=\sqrt[8]{13}e^{0.147*i}$$

Da wir ja Wurzel 4 haben, habe ich den Einheitskreis durch 4 geteilt und die Winkel hinzuaddiert damit die Lösungen gleichmäßig im Einheitskreis liegen:
$$=>z_{2}=\sqrt[8]{13}e^{0.147*i+\frac{1}{2}*\pi}$$
$$=>z_{3}=\sqrt[8]{13}e^{0.147*i+*\pi}$$
$$=>z_{4}=\sqrt[8]{13}e^{0.147*i+\frac{3}{2}*\pi}$$

Ist das so richtig?

VG

Answer 1

Hallo,

bei der Berechnung von φ  mit der Tangensformel sind sind außerhalb des 1. Quadranten Fallunterscheidungen nötig.

Bei zⁿ = a + b·i  kannst du aber auch so vorgehen:$$ r = \sqrt{a^2 +b^2}\text{ } \text{ } und \text{ } \text{ } \textcolor{green}{φ = arccos\left(\frac { a }{ r }\right) \text{ }\text{ } wenn \text{ }\text{ }b≥0}$$$$ \text{ } \text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ }\text{ } \text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ }  \text{ }\text{ }\text{ } \text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ }- arccos\left(\frac { a }{ r }\right)\text{ }wenn \text{ }\text{ }b<0  $$Ergibt sich φ negativ, kannst du einfach 2π addieren.

Die n Werte \(z_k\)  für \(z = \sqrt[n]{w}\)  erhält man mit der Indizierung k = 0,1, ... , n-1
aus der Formel $$ z_k =  \sqrt[n]{r}· \left[ \text{ }cos\left( \frac { φ_w + k · 2π }{ n } \right)+ i · sin\left( \frac { φ_w + k · 2π }{ n }\right) \right] $$Die Eulersche Form ist jeweils $$z_k =  \sqrt[n]{r}· e^{\frac { φ + k · 2π }{ n }\text{ }·\text{ }i} $$Gruß Wolfgang

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vielen Dank für deine Antwort:)