Minimaler Abstand eines Punktes zu f(x,y) = √(1 + (x - 2·y)^2)

Question

Frage bezüglich einer Funktion mehrere reeller Veränderlicher.

Funktion:

\( z=f(x, y)=\sqrt{1+(x-2 y)^{2}} \)

Hiervon möchte ich den minimalen Abstand zu P =( 1,-2,0) bestimmen.

Jedoch komme ich nicht weiter als den Gradienten dieser Funktion aufzustellen.

Meine Überlegung ist es eine allgemeine Gleichung einer Tangentialebene zu berechnen, hierzu den Normalenvektor zu bestimmen und den Schnittpunkt auszurechnen.

Oder gibt es dazu eine einfachere Varianten den Abstand zwischen einer Fläche und einem Punkt zu berechnen?

Der nachweis des Minimums ist kein Problem, jedoch die Berechnung des genauen Abstandes.

Answer 1

Nur eine Idee

Der Abstand berechnet sich aus

d^2 = a^2 + b^2 + c^2

d^2 = (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (1 + (x + 2·y)^2) = 2·x^2 + 4·x·y - 2·x + 5·y^2 + 4·y + 6

Davon suche ich ein Minimum. Ich lasse das mal Wolframalpha machen.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=minimize+2·x%5E2+%2B+4·x·y+-+2·x+%2B+5·y%5E2+%2B+4·y+%2B+6

Damit kannst du jetzt letztendlich auch den Abstand d bestimmen indem du die Wurzel aus d^2 berechnest.