Zeigen Sie, dass für alle reellen Zahlen x, y gilt: a) sin 2x = 2 sin x cos x, b) cos 2x = cos²x – sin²x

Question

(a) sin 2x = 2 sin x cos x
(b) cos 2x = cos² x – sin² x
(c) sin² x = 1/2(1 – cos 2x)
(d) cos² x = 1/2(1 + cos 2x)
(e) sin x cos y = 1/2(sin(x - y) + sin(x + y))

 

Ich habe keine Ahnung, wie man mit sinus und cosinus die reellen Zahlen zeigen soll. Wäre super, wenn mir jemand bei den Aufgaben helfen könnte!

Comments

Du musst hier nur zeigen, dass die Formeln allgemeingültig sind.

x und y sind hier Winkel, die du dir am Einheltskreis einzeichnen kannst; mehrmals rundherum bedeutet in IR. Man kann das modulo 2 Pi resp. 360° betrachten.

Die ersten beiden Formeln sind Doppelwinkelformeln.

Die folgen eigentlich direckt aus den sogenannten Additionstheoremen. 

Ebenso kannst du e mit den Formeln der Additionstheoreme beweisen.

Bei b) fehlt ein Subtraktionszeichen. Ich füge das gleich noch in die Aufgabenstellung ein. Bei c kannst du nach der 1 auch mit  - oder + rechnen. Das Zeichen fehlt da bestimmt.

c und d folgen aus b , wenn du Pythagoras am Einheitskreis benutzt,

also:  sin^2 ALPHA + cos^2 ALPHA= 1

Schau mal, was zu Additionstheoremen in der Wikipedia steht. (Hilft hoffentlich!)

https://de.wikipedia.org/wiki/Additionstheoreme_(Trigonometrie)#Additionstheoreme

 

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Bei c) sollte ebenfalls ein Subtraktionszeichen stehen. Muss die Aufgaben auch machen.

Answer 1

Annahme man kennt die Additionstheoreme, d.h.

Additionstheoreme 

1. sin(A±B) = sin A cos B ± cos A sin B

2.a) cos(A+B) = cos A cos B - sin A sin B

2.b) cos(A-B) = cos A cos B + sin A sin B

 

(a) sin 2x = 2 sin x cos x

Setze in 1. A = B = x

sin 2x = sin (x+x) = sin x cos x + cos x sin x = 2 sin x cos x qed

(b) cos 2x = cos ² x – sin ² x

Setze in 2.a) A = B = x

cos 2x = cos (x+x) = cos² x - sin²x

(c) sin² x = 1/2(1 – cos 2x)

Formel aus (b) einsetzen

1/2(1 – cos 2x) = 1/2( 1- cos² x + sin² x) =            |Pythagoras

1/2( sin² x + sin² x) = sin² x                 qed

 

(d) cos² x = 1/2(1 + cos 2x)

1/2(1 + cos 2x) = 1/2( 1+ cos² x - sin² x) =        |Pythagoras

1/2( cos² x + cos² x) = cos² x                         qed

 

(e) sin x cos y = 1/2(sin(x - y) + sin(x + y))

Benutze Formel 1. mit x=A und y = B

1/2(sin(x - y) + sin(x + y)) = 1/2(sin x cos y - cos x sin y + sin x cos y + cos x sin y)

1/2( 2 sin x cos y) = sin x cos y                 qed