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Aufgabe:

A, B & C verkaufen die Ressourcen E, F und D. Die verkauften Mengen in Mio. kg sind:


ABC
E550 
150 
230
F450 
350 
270
D190 
200 
210

Die Gewinne von A sind: 7020 Mio; B: 3950 Mio und C: 3900 Mio.

Problem/Ansatz:

Wie berechnet man den Gewinn pro verkauftem kg von F unter der Annahme, dass Gewinne/kg bei jeder Sorte bei A, B und C gleich groß sind? Der Gewinn von E beträgt 6 GE/kg.

Leider blicke ich nicht durch, mit welcher Art von Matrizenrechnung ich die Gewinne pro verkauftem kg berechnen kann - zunächst dachte ich, dass man dies relativ einfach anhand einer Technologiematrix berechnen kann - leider komme ich nicht zum richtigen Ergebnis. Vielen Dank für hilfreiche Ansätze vorab!

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Aloha :)

Der Aufgabenstellung entnehmen wir 3 Skalar-Produkte:$$\begin{pmatrix}550 & 450 & 190\end{pmatrix}\begin{pmatrix}E\\F\\D\end{pmatrix}=7020$$$$\begin{pmatrix}150 & 350 & 200\end{pmatrix}\begin{pmatrix}E\\F\\D\end{pmatrix}=3950$$$$\begin{pmatrix}230 & 270 & 210\end{pmatrix}\begin{pmatrix}E\\F\\D\end{pmatrix}=3900$$

Das fassen wir zu einer Matrix-Gleichung zusammen:$$\begin{pmatrix}550 & 450 & 190\\150 & 350 & 200\\230 & 350 & 250\end{pmatrix}\begin{pmatrix}E\\F\\D\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7020\\3950\\3900\end{pmatrix}$$

und erhalten als Lösung des Gleichungssystems:$$\begin{pmatrix}E\\F\\D\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}550 & 450 & 190\\150 & 350 & 200\\230 & 350 & 250\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}7020\\3950\\3900\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\7\\3\end{pmatrix}$$

Der Gewinn von \(E\) ist \(6\,\frac{\mathrm{GE}}{\mathrm{kg}}\), der Gewinn von \(F\) ist \(7\,\frac{\mathrm{GE}}{\mathrm{kg}}\) und der Gewinn von \(D\) ist \(3\,\frac{\mathrm{GE}}{\mathrm{kg}}\).

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Tausend Dank für die super ausführliche Antwort!!

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