Wie lauten die Koordinaten des Punktes F?

Question

Aufgabe:

Wie lauten die Koordinaten des Punktes F?

Die Gerade k= \( \begin{pmatrix} 4\\1\\-5 \end{pmatrix} \) +s·\( \begin{pmatrix} 4\\2\\-7 \end{pmatrix} \) durchsticht im Punkt F die Ebene F:7x+2y+4z=14

Answer 1

Aloha :)

Zuerst machen wir uns klar, wie die Koordinaten der Punkte auf der Geraden aussehen:

$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\1\\-5\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\2\\-7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4+4s\\1+2s\\-5-7s\end{pmatrix}$$

Wenn uns auf diesen Koordinaten bewegen, müssen wir irgendwann zu der Ebene gelangen. Da wir die Ebenengleichung kennen, können wir den passenden Wert für \(s\) ausrechnen:$$14\stackrel!=7x+2y+4z=7(4+4s)+2(1+2s)+4(-5-7s)=4s+10$$$$\implies 14=4s+10\implies 4=4s\implies s=1$$

Damit können wir den Treffpunkt \(F\) bestimmen:$$\vec f=\begin{pmatrix}4\\1\\-5\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}4\\2\\-7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\\3\\-12\end{pmatrix}$$

Der gesuchte Punkt hat also die Koordinaten \(F(8;3;-12)\).