Konvergenzradius einer Reihe mit e Funktion bestimmen

Question

Hallo,

ich soll den Konvergenzradius folgender Reihe bestimmen

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty} \) (\( \sqrt{e^{2n}+1} \) - \( e^{n} \)) * \( x^{n} \) 

Ich weiß dass ich grundlegend das ganze in die Form

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty} \) a_n(x-x₀)ⁿ

bringen soll, bin hier allerdings verloren wie genau ich das machen soll.  

Würde mich über jede Hilfe freuen :)

Answer 1

Hallo

das ist doch schon in der gewünschten Form, x₀=0 und a_n=√(e^2n+1)*e^n benutze das Wurzelkriterium

und √(e^2n+1)-> e^n

Gruß lul

Comments

Hallo,

und √(e^{2n}+1)-> e^{n}

ich verstehe leider nicht wieso hier die eins verschwindet.

---

Frag doch bei der Gelegenheit gleich auch noch, was das denn bei der Bestimmung des Konvergenzradius helfen soll.

---

Hallo

ziehe e^2n aus der Wurzel.

Gruß lul

---

Also ist dann

\( \sqrt[n]{\sqrt{e^{2n}+1}-e^{n}} \) =  \( \sqrt[n]{e^{n}+1-e^{n}} \) und damit nurnoch n-te wurzel von 1 ?

---

Hallo

meine Idee war, : e^n*(√(1+1/e^2n)-1)  aber besser erweitere mit √(e^2n+1)+e^n

dann hast du die dDifferenz los und nur noch den positiven Nenner,

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

Erstmal schreiben wir die Koeffizienten mittels der dritten binomischen Formel etwas um:$$a_n\coloneqq\sqrt{e^{2n}+1}-e^n=\frac{(\sqrt{e^{2n}+1}-e^n)(\sqrt{e^{2n}+1}+e^n)}{\sqrt{e^{2n}+1}+e^n}=\frac{e^{2n}+1-e^{2n}}{\sqrt{e^{2n}+1}+e^n}$$$$\phantom{a_n}\;=\frac{1}{\sqrt{e^{2n}+1}+e^n}=\frac{1}{e^n\left(\sqrt{1+\frac{1}{e^{2n}}}+1\right)}$$

und bestimmen dann den Konvergenzradius als Grenzwert von$$\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{e^{n+1}\left(\sqrt{1+\frac{1}{e^{2(n+1)}}}+1\right)}{e^n\left(\sqrt{1+\frac{1}{e^{2n}}}+1\right)}=e\cdot\frac{\left(\sqrt{1+\frac{1}{e^{2(n+1)}}}+1\right)}{\left(\sqrt{1+\frac{1}{e^{2n}}}+1\right)}\to e\cdot\frac{2}{2}=e$$

Der Konvergenzradius ist daher \(r=e\).

Comments

Vielen Dank schonmal!

Ich hab das jetzt mit dem Wurzelkriterium versucht, könntest du mir vielleicht sagen wieso das hier dann falsch ist:

\( \sqrt[n]{\sqrt{e^{2n}+1}-e^{n}} \) = \( \sqrt[n]{e^{n}+1-e^{n}} \) = \( \sqrt[n]{1} \) und damit r=1

---

Hallo,

$$\sqrt{x+y}=\sqrt{x}+\sqrt{y}$$

ist absolut falsch. Setz mal irgendwelche Zahlen für x und y ein.

Ich würde Dir raten, Dich damit intensiv auseinander zu setzen, damit Dir so etwas nicht noch einmal passiert.

Gruß Mathhil

---

Mit dem Wurzelkriterium wirst du hier nicht wirklich gut weiterkommen. Ich habe es dir doch mit dem Quotientenkriterium ausführlich vorgeführt.

---

Ok, war nur interessenhalber, vielen Dank nochmal.

---

Mit dem Wurzelkriterium wirst du hier nicht wirklich gut weiterkommen.

Warum nicht ?

(a_n)^1/n =  ((e²ⁿ+1)^1/2 - e^n)^1/n =  ((e²ⁿ+1)^1/2 + e^n)^-1/n
=  (e^n·((1+e^-2n)^1/2 + 1))^-1/n =  1/e · ((1+e^-2n)^1/2 + 1)^-1/n -->  1/e