Mit welchem Verfahren kann ich die Nullstelle finden?

Question

Aufgabe:

Nullstelle rausfinden für f(x) = 1/10 (-x^3 + 9x^2 - 15x + 56)

Problem/Ansatz:

Mit welchem Verfahren kann ich die Nullstelle finden?

Answer 1

(x) = 1/10 (-x^3 + 9x^2 - 15x + 56) = 0 

-x^3 + 9x^2 - 15x + 56 = 0

Eine Wertetabelle im Bereich von -10 bis 10 liefert eine Nullstelle bei x = 8 über die man eine Polynomdivision oder das Horner Schema durchführt.

(-x^3 + 9x^2 - 15x + 56) / (x - 8) = - x^2 + x - 7

- x^2 + x - 7 = 0
x^2 - x + 7 = 0

Die pq-Formel liefert jetzt nur noch zwei komplexe Nullstellen.

Daher gibt es in den reellen Zahlen nur die Nullstelle bei x = 8.

Answer 2

Probiere die Teiler von 56. Bei der 8 klappt es.

Polynomdivision zeigt: Keine weiteren Nullstellen.

Answer 3

Hallo Mercelo,

Du hast leider die Klassenstufe nicht angegeben, denn es gibt schon mehrere hundert Jahre Forschung auf diesem Gebiet!

Den Faktor kann man weglassen -> siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Nullteiler#Satz_vom_Nullprodukt

a) Das "Rumprobieren" wird leider immer noch gelehrt, obwohl es schon über 400 Jahre veraltet ist. Da es hier aber eine "Glatte Nullstelle" gibt, sieht es genau danach aus, dass der Aufgabensteller sich genau so einen seltenen Spezialfall herausgesucht hat.Die restlichen Nullstellen bekommt man oft nach Polynomdivision und quadratischer Gleichung heraus. Wenn ihr noch keine komplexen Zahlen hattet, brauchst Du wegen des negativen Arguments innerhalb der Wurzel nicht weitermachen -> es gibt "für Euch" dann nur 1 reelle Nullstelle.

b) https://de.wikipedia.org/wiki/Bisektion oder Intervallhalbierung -> ist eigentlich "systematisches Probieren" im abgesteckten Suchbereich.

c) Über 300 Jahre gibt es schon das https://de.wikipedia.org/wiki/Newtonverfahren

Dazu müsst Ihr die Ableitung behandelt haben.

Der Iterationsrechner unter http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm Beispiel 118 rechnet das online vor:

Hinweis: x*x*x = x³ = x^3 = pow(x,3)

d) die https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln gibt es auch schon über 400 Jahre. Sind aber kompliziert und haben Fallunterscheidung.

e) aus d) kann man mit Hilfe der komplexen Zahlen die Fallunterscheidungen eliminieren und bekommt die exakte PQRST-Formel (analog zur pq-Formel bei Polynomen Grad 2):

https://www.lamprechts.de/gerd/Bilder/QuadratischeGleichung_p-q-Formel_KubischeGleichung_PQRST-Formel.png

Also einfach Zahlenwerte einsetzen & ausrechnen -> das kann jede "dumme Maschine", die mit komplexen Zahlen rechnen kann. Bei Lehrern nicht bekannt, da es kein https://de.wikipedia.org/wiki/Lehrstoff ist.

Der Nullstellenrechner unter https://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php

rechnet e) & d) online mit Zwischenergebnissen vor:

f) Nur für Interessierte: es gibt noch hypergeometrische Funktionen, wo man einige Nullstellen DIREKT berechnen kann:

http://www.gerdlamprecht.de/Explizite-Loesungsformeln-fuer-Polynome-hypergeometrische-Funktion.htm