Lineare Algebra Unabhängigkeitsbestrebungen

Question

Unabhängigkeitsbestrebungen
(a) Zeigen Sie, dass für Vektoren \( \mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^{n} \) die folgenden beiden Bedingungen äquivalent sind:
(i) Es ist \( \mathbf{v} \neq \mathbf{0}, \mathbf{w} \neq \mathbf{0} \), und \( \mathbf{v} \) und \( \mathbf{w} \) sind nicht skalare Vielfache voneinander.
(ii) Aus \( \lambda \mathbf{v}+\mu \mathbf{w}=\mathbf{0} \) mit \( \lambda, \mu \in \mathbb{R} \) folgt stets \( \lambda=\mu=0 \).
Zwei Vektoren \( \mathbf{v}, \mathbf{w} \), die diese Bedingungen erfüllen, heißen linear unabhängig.
(b) Sind die Vektoren \( \mathbf{v}=(-3,1,0) \) und \( \mathbf{w}=(1,0,1) \) linear unabhängig?

Comments

Unabhängigkeitsbestrebungen gibt und gab es z,B. bei einigen afrikanischen Staaten. Hier geht es wohl eher um Unabhängigkeitsbedingungen.

Answer 1

(i) ==>  Seien v,w wie beschrieben

und angenommen es gibt λ,μ mit   λv +μw = 0

                ==>   λv = -μw

wenn λ≠0 dann folgt v = (-μ/λ)w also v skalares Vielfaches von w

Widerspruch!  Für μ≠0 entsprechend.

(ii) ==> (i)  : Angenommen \( \mathbf{v} \neq \mathbf{0}, \mathbf{w} \neq \mathbf{0} \),

und z.B. \( \mathbf{v} \) ist  skalares Vielfaches von  \( \mathbf{w} \) .

Dann gäbe es ein k∈ℝ\0 mit v=k*w also gilt

                        v - k*w = 0 also mit

                    λ=1 und μ=-k also   λv +μw = 0 ohne dass   λ=μ=0 gilt.

Widerspruch !

b) ja, verwende die 2. Charakterisierung und zeige   λv +μw = 0

==>   λ=μ=0