Lineare Algebra Dimension bestimmen

Question

Aufgabe:

Geben Sie für folgenden Vektorraum die Dimension und eine Basis an:

U_1 : = { (x_1, x_2, x_3) € R^3 : x_1 = 2*x_2 + x_3 }

ps: das thema ist neu zu mir, bitte erklärt es etwas ausführlicher ^^ danke!

…

Problem/Ansatz: Dimension und Basis bestimmen

Answer 1

Hallo

due hast einen Unterraum aller 3 d Vektoren des R^3 , dann ist eine lineare Bedingung gegeben, das verringert ddie dimension um 1, Vorstllen kannst du dir das mit x2=a, x3=b dann hast du die Menge der Vektoren (2a+b,a,b)  und kannst a,b frei wählen also 2d oder du nimmst ne Basis mit a=0b=1 und a=1,b=0 und hast die Basis (1,0,1) und (2,1,0)

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

Hier reicht es, die Vektoren aus \(U_1\) explizit aufzuschreiben:$$\vec u=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x_2+x_3\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=x_2\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$$

Du erkennst, dass es zwei frei wählbare Parameter \(x_2\) und \(x_3\) gibt, also ist die Dimension des Vektorraums gleich \(2\). Du erkennst auch zwei linear unabhängige Baisvektoren, auf die sich die frei wählbaren Parmameter beziehen.