Hallo Kathi,
... und weiß nicht so genau wie ich da ran gehen soll
Du brauchst doch bloß die Symmetrie und die Dreiecksungleichung zu zeigen. Siehe Definition.
Symmetrie ist einfach:$$d'(x,y) = \frac{d(x,y)}{1+d(x,y)} = \frac{d(y,x)}{1+d(y,x)} = d'(y,x)$$
Bei der Dreiecksungleichung ist zu zeigen, dass gilt$$d'(x,y) \le d'(x,z) + d'(z,y)$$und das setzt man ein und löst auf. Aus Platzgründen schreibe ich \(d(x,y) = d_{xy}\):$$ \begin{aligned} d'_{xy} &\stackrel{?}{\le} d'_{xz} +d'_{zy} \\ \frac{d_{xy}}{1+d_{xy}} &\le \frac{d_{xz}}{1+d_{xz}} + \frac{d_{zy}}{1+d_{zy}} \\ d_{xy}(1+d_{xz}+ d_{zy} +d_{xz}d_{zy})&\le d_{xz}(1 + d_{xy}+d_{zy}+d_{xy}d_{zy}) \\&\quad + d_{zy}(1+d_{xy}+d_{xz}+d_{xy}d_{xz}) \\ d_{xy}+d_{xy}d_{xz}+ d_{xy}d_{zy} +d_{xy}d_{xz}d_{zy} &\le d_{xz} + d_{xz}d_{xy}+d_{xz}d_{zy}+d_{xz}d_{xy}d_{zy} \\&\quad + d_{zy}+d_{zy}d_{xy}+d_{zy}d_{xz}+d_{zy}d_{xy}d_{xz}\\ d_{xy}&\le d_{xz} +d_{xz}d_{zy}+d_{xz}d_{xy}d_{zy} \\&\quad + d_{zy}+d_{zy}d_{xz}\\ d_{xy}&\le \underbrace{d_{xz} + d_{zy}}_{\ge d_{xy}} + \underbrace{d_{xz}d_{zy}(2+d_{xz})}_{\ge 0} \end{aligned}$$womit gezeigt wäre, dass die Dreiecksungleichung immer erfüllt ist.
Bleibt noch zu zeigen, dass $$\sup _{x, y \in X} d^{\prime}(x, y) \leq 1$$Dazu wandele ich das \(d'(x,y)\) etwas um:$$d'(x,y) = \frac{d(x,y)}{1+d(x,y)} = \frac{d(x,y)+1-1}{1+d(x,y)} = 1 - \frac1{1+d(x,y)}$$Der hintere Term der Differenz ist immer \(\gt 0\) und \( \le 1\), da \(d(x,y) \ge 0\). Folglich gilt für \(d'(x,y)\):$$ 0 \le d'(x,y) \lt 1 \quad \forall x,y \in \mathbb X$$Und damit ist auch die obere Grenze dieser Metrik kleiner oder bestenfalls gleich 1.
