Hi
Wir haben vier verschiedene Fälle:
1)
8 - x >= 0 -> |8-x| = 8 - x
8 - x >= 0
x <= 8
x^2 - 3x > 0 -> x < 0 oder x > 3
Das ergibt die (eventuell vorläufigen) Lösungsintervalle
(-∞, 0) und (3, 8]
8 - x <= x^2 - 3x
-x^2 + 3x + 8 - x <= 0
x^2 - 2x - 8 >= 0
x <= -2 oder x >= 4
Die Lösung dieser quadratischen Ungleichung hat zwei Lösungsintervalle
(-∞, -2] und [4, ∞)
Die gemeinsame Schnittmenge der vier Intervalle ist die Lösung des Falles 1)
Das sind die Intervalle (-∞, -2] und [4, 8]
2)
x <= 8 wie 1)
x^2 - 3x < 0 -> 0 < x < 3
8 - x >= x^2 - 3x
-x^2 + 3x + 8 - x >= 0
x^2 - 2x - 8 <= 0
-2 <= x <= 4
Gemeinsame Schnittmenge (0, 3) ist Lösung des Falles 2)
3)
8 - x < 0 -> |8-x| = x - 8
x > 8
x^2 - 3x > 0 -> x < 0 oder x > 3
-x^2 + 3x + x - 8 <= 0
-x^2 + 4x - 8 <= 0
x^2 - 4x + 8 >= 0
(x - 2)^2 + 4 >= 0 (links steht die Scheitelpunktform)
x >= 2 oder x <= 2 bzw. x = ℝ :D
Gemeinsame Schnittmenge (8, ∞) ist Lösung des Falles 3)
4)
8 - x < 0 -> |8-x| = x - 8
x > 8
x^2 - 3x < 0 -> 0 < x < 3
Widerspruch, keine Lösung.
Die leere Menge ist die gemeinsame Schnittmenge und Lösung des Falles 4)
-
Die Lösung der Aufgabe ist die Vereinigungsmenge der Lösungen der vier Fälle:
x <= -2
0 < x < 3
x >= 4
