Das geht ja schon in eine richtige Richtung.
Sei \( \bigcup_{i\in I} U_i = Y \) eine offene Überdeckung von \( Y \), d.h. \( U_i \subseteq Y \) ist bzgl. der induzierten Topologie offen. Die induzierte Topologie auf \( Y \) besteht ja aus den Mengen der Form \( O \cap Y \) wobei \( O \subseteq X \) offen.
Man findet also \( O_i \subseteq X \) offen mit \( U_i = O_i \cap Y \).
Also $$ Y = \bigcup_{i\in I} U_i = \bigcup_{i\in I} O_i \cap Y = \left( \bigcup_{i\in I} O_i\right) \cap Y $$
Also könnte man, wenn ich mich nicht irre, die Vereingung des Komplements und der offenen Überdeckung Ui als eine offene Überdeckung von X wählen
Ja genau
$$ X = Y \cup Y^c = \left( \bigcup_{i\in I} O_i \cap Y\right) \cup Y^c = \bigcup_{i\in I} O_i \cup Y^c $$
ist eine offene Überdeckung von X
zu dieser neuen Überdeckung muss es folglich ja auch eine endliche Teilüberdeckung geben, da X quasi-kompakt ist und dies nach Definition gegeben ist.
d.h es muss eine endliche Indexmenge J Teilmenge I existieren, so dass die Vereinigung des Komplements mit der Verneinung aller i Element J von Oi = X sind
Genau. Es existiert also \( J \subseteq I \) endlich s.d.
$$ X = \bigcup_{i\in J} O_i \cup Y^c $$
eine endliche Teilüberdeckung ist. Eventuell ist das Komplement auch eine nötige Menge in der offenen Überdeckung, falls nicht kann man es aber trotzdem einfach zur Überdeckung hinzunehmen. Die Überdeckung bleibt dann ja trotzdem endlich.
Was folgt daraus für die ursprüngliche Überdeckung?
Was kannst du jetzt über
$$ \bigcup_{i\in J} U_i = \bigcup_{i\in J} (O_i \cap Y) $$
sagen? Verwende, dass \( Y = X \cap Y \).
