Zeigen,dass es kompakt ist

Question

Aufgabe:

(i)

Es seien A,B kompakt.Man zeige,dass                  A + B := { a + b: a ∈ A, b ∈ B} kompakt ist.

Problem:

hab das Thema nicht so verstanden,wäre sehr nett wenn jemand aufzeigen würde,wie man das zeigt

Comments

Sind \(A,\; B\subseteq \mathbb{R}^n\) ?

Das solltest du uns schon mitteilen, weil sonst nicht

klar ist, was a+b bedeuten soll.

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Das ist das einzige ,was in der Aufgabe steht

Aber gehen wir mal davon aus

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Vermutlich steht das auf dem Aufgabenzettel irgendwo

vor dem eigentlichen Aufgabentext, ansonsten dem

Aufgabensteller eine Rüge erteilen ;-)

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Text erkannt:

Aufgabe \( 04(2+2 \) P.)
(i) Es seien \( A, B \) kompakt. Man zeige, dass \( A+B:=\{a+b: a \in A, b \in B\} \) kompakt ist.
(ii) Sei \( \left(K_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge nichtleerer kompakter Mengen mit \( K_{n+1} \subset K_{n} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \). Man zeige, dass \( K:=\bigcap_{n=1}^{\infty} K_{n} \neq \varnothing \)
Hinweis: Verwenden Sie, dass Kompaktheit äquivalent zur Folgenkompaktheit ist.

Hier,genau so steht es drauf

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Und steht auf dem Aufgabenzettel nichts davor?

Zum Beispiel, um welchen metrischen Raum es geht?

Wovon die Mengen Teilmengen sein sollen?

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Nein,nichts:)

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Sind A, B kompakt in G, dann ist

AxB kompakt in GxG nach Tychonoff

Die Stetigkeit der Abbildung

+ : G x G → G

liefert dann unmittelbar die Behauptung.

(Gilt für alle topologische Gruppen (G,+))

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Also wie schreibe ich das dann auf ?

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Kennst du denn den Satz von Tychonoff ?

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Nein.Also wie würde die Lösung zu der Aufgabe aussehen? :))

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Habe eine Lösung als Antwort geschrieben.

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Danke dir Jetzt ist es verständlich :)

Answer 1

Beweis mit Hilfe der Folgenkompaktheit:

Sei \((a_n+b_n)\) eine Folge mit \(a_n\in A\) und \(b_n\in B\).

Ich zeige, dass diese Folge eine konvergente Teilfolge besitzt.

Da \(A\) folgenkompakt ist, gibt es eine in \(A\) konvergente Teilfolge

von \((a_n)\), d.h. es gibt eine streng monoton wachsende Abbildung

\(i:\mathbb{N}\to \mathbb{N}\) mit \((a_{i(n)})\) konvergent gegen ein \(a\in A\).

\((b_{i(n)})\) ist eine Folge in \(B\), die wegen der Folgenkompaktheit

von \(B\) eine konvergente Teilfolge \((b_{k(i(n))})\) mit einem in \(B\)

liegenden Limes \(b\) besitzt, wobei wieder \(k:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\)

eine streng monoton wachsende Abbildung ist.

Nun ist \((a_{k(i(n))})\) eine Teilfolge von \((a_{i(n)})\) und

da letztere gegen \(a\) konvergiert, konvergiert auch diese Teilfolge

gegen \(a\in A\). Nach dem Limes-Satz für Summen konvergenter Folgen,

ist dann \((a_{k(i(n))}+b_{k(i(n))})\) konvergent gegen \(a+b\),

q.e.d.